Zašto su uvedeni kompleksni brojevi

Uobičajeno je mišljenje da su kompleksni brojevi uvedeni u matematiku da bi svaka kvadratna jednačina imala rješenje

Primjer

$x^2+1=0$ nema realnih rješenja, a nakon uvođenja kompleksnih brojeva ima dva rješenja: $x=i$ i $x=-i$

To se kasnije podupire jos jačim argumentom da svaka algebarska jednačina n-tog stepena ima tačno n rjješenja.

Primjer

$x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 = 0$

ima tačno četiri rješenja: dvostruko rješenje $1$ i jednostruka rješenja $i$, $-i$. To se obrazlaže rastavljanjem na faktore: $x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 (x^2 + 1)$

za svaki realni (odnosno kompleksni) broj x, odnosno

$x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 (x - i) (x + i).$

Ponekad se uvođenje kompleksnih brojeva obrazlaže Bézoutovom teoremom

Dvije algebarske krive reda $m$, odnosno $n$, sijeku se u tačno $mn$ tačaka.

Takva teorema ne bi vrijedila bez kompleksnih brojeva.

Na primjer, prava ne bi sjekla koniku u tačno dvjema tačkama i uopšteno krivu reda $n$ u $n$ tačaka.

Primjer Prava čija je jednačina $y = x + 2$ ne siječe kružnicu čija je jednačina

$x^2 + y^2 = 1$ (ako se razmatraju samo realne tačke), međutim, siječe je u tačkama

$(\frac{-1-\sqrt{2}}{2},\frac{1-\sqrt{2}}{2}i)$

$(\frac{-1+\sqrt{2}}{2},\frac{1-\sqrt{2}}{2}i)$ Svi ovi (i neki drugi) razlozi matematičarima su dobar povod za uvođenje korijena negativnih brojeva, a time i kompleksnih brojeva. Međutim, ni u jednome od njih kompleksni brojevi nisu bili nužni. U vrijeme uvođenja kompleksnih brojeva u matematiku, u XVI vijeku, kvadratna jednačina bila je poznata vise od 3000 godina. Stari su je matematičari vec rješavali i znali su da može imati dva, jedno ili nijedno rješenje i to im je bilo dovoljno. Također se naslučivalo da algebarska jednačina stepena $n$ ima najviše $n$ rješenja (tu se misli samo na jednačinu s realnim koeficijentima i samo na realna rješenja jer za druge nisu ni znali).

Razlogom za uvođenje kompleksnih brojeva mogao je biti samo matematički problem u kojem se kompleksni brojevi nisu mogli zaobići, a takav se problem pojavio pri rješavanju kubne jednačine.

Kako je poznato, svaka je kubna jednačina ekvivalentna jednačini oblika

$x^3 + a x^2 + bx + c = 0$

gdje su a,b,c realni brojevi (danas to mogu biti i kompleksni brojevi ili elementi nekog polja). S takvim su jednačinama matematičari imali poteškoća više od 3000 godina dok ih u prvom dijelu XVI vijeka nisu uspjeli "ukrotiti". Neke se od tih jednačina mogu lako riješiti.

Primjer

$x^3-x=0$ ima rješenja $0$, $1$, $-1$.

Slično je za svaku kubnu jednačinu s racionalnim koeficijentima (za koju su $a$, $b$, $c$ realni ), koja ima bar jedno racionalno rješenje. Kod takvih jednačina u pravilu je lako nači racionalno rješenje

$r = \frac{p}{q}$, $p$, $q$ .

Nakon što jednačinu pomnožimo sa zajedničkim imeniteljem svih koeficijenata, $p$ mora dijeliti slobodni, a $q$ vodeći koeficijent jednačine. Kako ima konačno takvih mogučnosti, načelno možemo doći i do one povoljne. Kad znamo racionalno rješenje $r$, onda dijeljenjem možemo docć do rastava:

$x^3 + ax^2 + bx + c = (x - r) (x^2 + a'x + b')$

pa se preostala rješenja početne kubne jednacine dobiju rješavanjem kvadratne jednačine

$x^2 + a'x + b' = 0.$

Takve se kubne jednačine često pojavljuju u srednjoškolskim zadacima, a i na fakultetima. Međutim, što je s jednačinom

$x^3 - 6x + 2 = 0$ ?

Izraz $x^3 + ax^2 + bx + c$ za dovoljno je velike pozitivne $x$-ove pozitivan, a za dovoljno male negativne $x$-ove negativan, pa je za neki $x$ jednak nuli. Zaključujemo da jednačina

$x^3 + a x^2 + bx + c = 0$ ima bar jedno realno rješenje $r$. Sada je

$x^3 + ax^2 + bx + c = (x - r) (x^2 + a'x + b')$

pa mogu nastupiti sljedeće mogučnosti:

1. jednačina ima 3 realna različita rjesenja,
2. jednačina ima 1 realno jednostruko i 1 realno dvostruko rješenje,
3. jednačina ima 1 realno trostruko rješenje,
4. jednačina ima jedno realno i dva konjugirano kompleksna rješenja.

U doba otkrivanja formula za rješenje kubne jednačine nije bilo kompleksnih brojeva pa su  ondašnji matematičari shvatili  jednačina ima 1 rjesenje. Kategorija:Algebra Kategorija:Teorija brojeva