Za koje prirodne brojeve n je broj
3 2 n + 1 − 2 2 n + 1 − 6 n {\displaystyle 3^{2n+1}-2^{2n+1}-6^{n}}
složen?
R:
3 2 n + 1 − 2 2 n + 1 − 6 n = 3 ∗ 3 2 n − 2 ∗ 2 2 n − 3 n 2 n {\displaystyle 3^{2n+1}-2^{2n+1}-6^{n}=3*3^{2n}-2*2^{2n}-3^{n}2^{n}}
smjenom
x = 2 n {\displaystyle x=2^{n}} i y = 3 n {\displaystyle y=3^{n}}
3 x 2 − 2 y 2 − x y = 3 x 2 − 2 y 2 − 3 x y + 2 x y = 3 x ( x − y ) + 2 y ( x − y ) = ( x − y ) ( 3 x + 2 y ) {\displaystyle 3x^{2}-2y^{2}-xy=3x^{2}-2y^{2}-3xy+2xy=3x(x-y)+2y(x-y)=(x-y)(3x+2y)}
odnosno
3 2 n + 1 − 2 2 n + 1 − 6 n = ( 3 n − 2 n ) ( 3 n + 1 + 2 n + 1 ) {\displaystyle 3^{2n+1}-2^{2n+1}-6^{n}=(3^{n}-2^{n})(3^{n+1}+2^{n+1})}
Za n ⩾ 2 {\displaystyle n \geqslant 2}
3 n > 2 n => 3 n − 2 n > 1 {\displaystyle 3^{n}>2^{n}=>3^{n}-2^{n}>1}
Pa je zadani broj složen.
Za n = 1 {\displaystyle n=1}
( 3 n − 2 n ) ( 3 n + 1 + 2 n + 1 ) = ( 3 − 2 ) ( 9 + 4 ) = 13 {\displaystyle (3^{n}-2^{n})(3^{n+1}+2^{n+1})=(3-2)(9+4)=13}
ovo je prost broj.
Potpuno analognim postupkom, moguće je pokazati da je za
a ⩾ 2 {\displaystyle a\geqslant 2} i n ⩾ 2 {\displaystyle n \geqslant 2}
broj
( a + 1 ) 2 n + 1 − a 2 n + 1 − ( a ( a + 1 ) ) n {\displaystyle (a+1)^{2n+1}-a^{2n+1}-(a(a+1))^{n}}
složen. Kategorija:Teorija brojeva Kategorija:Zadatak
i 
i
