Zadatak 76

Dokazati ako su brojevi

• $m$ i $m^{2}+2$ prosti оnda je i $m^{3}+2$ također prost

Svaki prost broj veći od 3 možemo napisati u obliku $3n+1$ ili $3n-1$ pa imamo

$m^{2}+2=9n^{2}+6n+3$

i

$m^{2}+2=9n^{2}-6n+3$

Kako je $m > 2$, broj $m^{2}+2$ je veći od $3$ i djeljiv je sa $3$, što znači da jesložen.

$m^{2}+2$ može biti prost samo ako je $m=3$. U tom slučaju, $m^{2}+2=11$ je prosti broj, $m^{3}+2=29$ je takođe prosti broj,

• $p-10$, $p$ i$p+10$ su prosti onda je i $p-2$ također prost

Kako je

$p-10=(p-1)-9$ i

$p+10=(p+1)+9$

brojevi $p-10$ i $p-1$ pri dijeljenju sa $3$ imaju iste ostatke . I brojevi $p+10$ i $p+1$ pri dijeljenju sa $3$ imaju iste ostatke.

Od tri uzastopna broja $p-1$, $p$ i $p+1$ jedan i samo jedan je djeljiv sa $3$

Isto važi i za brojeve $p-10$, $p$, $p+10$

pošto su ti brojevi prosti iz

$p-10=3$ i $p=13$ slijedi $p-2=11$ je prost broj