Zadatak 62

Ako su u šestocifrenom broju 1. i 4. cifra jednake, 2. i 5. cifra jednake i 3. i 6.cifra jednake dokazati da je taj broj djeljiv sa 7, 11 i 13.

Iz zadanog uslova imamo

$10^{5}x+10^{4}y+10^{3}z+10^{2}x+10y+z$

Ako ovaj iskaz rastavimo na proste faktore dobićemo

$10^{2}x(10^{3}+1)+10y(10^{3}+1)+z(10^{3}+1)=$

$(10^{3}+1)(10^{2}x+10y+z)$

Iz poslednjeg iskaza imamo broj $(10^{3}+1)$ kao jedan činioc proizvoda. Ako je on djeljiv brojevima 7, 11 i 13 onda je i zadani broj djeljiv.

$1001:7=143$

$1001:11=91$

$1001:13=77$

Iz svega gore navedenog proizlazi da zadani broj zadovoljava postavljene uslove