Zadatak 14

Sve primitivne Pitagorine trojke $(x, y, z)$, u kojima je $y$ paran (dakle, $x$ i $z$ neparni) dobijene su pomoću formula

$x=kl$

$y={\frac {k^{2}-l^{2}}{2}}$

$z={\frac {k^{2}+l^{2}}{2}}$

za $k>l,$ i $(k,l)$ su parovi svih neparnih relativno prostih prirodnih brojeva . Svaka primitivna trojka $(x, y, z)$ gdje je $y$ paran je na ovaj način dobijena samo jednom.

Dokaz.

Jednačinu

$x^2 + y^2 = z^2$

transformišemo u oblik

$x^{2}=(z+y)(z-y)$

Definišimo brojeve $u=z+y$ i $v=z-y$, uz pretpostavku teoreme $z$ je neparan, a $y$ paran. Tada su $u$ i $v$ neparni. Kako su $y$ i $z$ relativno prosti, a $z$ je neparan, $u$ i $v$ su relativno prosti.

Iz jednačine

$x^{2}=(z+y)(z-y)=>x^{2}=uv$, postoje relativno prosti (neparni) prirodni brojevi $k$, $l$ takvi da je $u=k^{2}$, $v=l^{2}.$ Tako dobijamo tražene jednačine $x=kl$

$y={\frac {k^{2}-l^{2}}{2}}$

$z={\frac {k^{2}+l^{2}}{2}}$

Jedan od mogućih pravilnih redosljeda dobijanja svih primitivnih Pitagorinih trojki pomoću tih formula dobijemo rednim uzimanjem neparnih brojeva 3, 5, 7, 9 . . . za $k$, i za svaki od njih sve neparne brojeve za $l,$ koji su manji od $k$ i relativno prosti s njim. Kategorija:Algebra Kategorija:Zadatak