Uobičajeno je mišljenje da su kompleksni brojevi uvedeni u matematiku da bi svaka kvadratna jednačina imala rješenje

Primjer

nema realnih rješenja, a nakon uvođenja kompleksnih brojeva ima dva rješenja: i

To se kasnije podupire jos jačim argumentom da svaka algebarska jednačina n-tog stepena ima tačno n rjješenja.

Primjer

ima tačno četiri rješenja: dvostruko rješenje i jednostruka rješenja , . To se obrazlaže rastavljanjem na faktore:

za svaki realni (odnosno kompleksni) broj x, odnosno

Ponekad se uvođenje kompleksnih brojeva obrazlaže Bézoutovom teoremom

Dvije algebarske krive reda , odnosno , sijeku se u tačno tačaka.

Takva teorema ne bi vrijedila bez kompleksnih brojeva.

Na primjer, prava ne bi sjekla koniku u tačno dvjema tačkama i uopšteno krivu reda u tačaka.

Primjer Prava čija je jednačina ne siječe kružnicu čija je jednačina

(ako se razmatraju samo realne tačke), međutim, siječe je u tačkama

Svi ovi (i neki drugi) razlozi matematičarima su dobar povod za uvođenje korijena negativnih brojeva, a time i kompleksnih brojeva. Međutim, ni u jednome od njih kompleksni brojevi nisu bili nužni. U vrijeme uvođenja kompleksnih brojeva u matematiku, u XVI vijeku, kvadratna jednačina bila je poznata vise od 3000 godina. Stari su je matematičari vec rješavali i znali su da može imati dva, jedno ili nijedno rješenje i to im je bilo dovoljno. Također se naslučivalo da algebarska jednačina stepena ima najviše rješenja (tu se misli samo na jednačinu s realnim koeficijentima i samo na realna rješenja jer za druge nisu ni znali).

Razlogom za uvođenje kompleksnih brojeva mogao je biti samo matematički problem u kojem se kompleksni brojevi nisu mogli zaobići, a takav se problem pojavio pri rješavanju kubne jednačine.

Kako je poznato, svaka je kubna jednačina ekvivalentna jednačini oblika

gdje su a,b,c realni brojevi (danas to mogu biti i kompleksni brojevi ili elementi nekog polja). S takvim su jednačinama matematičari imali poteškoća više od 3000 godina dok ih u prvom dijelu XVI vijeka nisu uspjeli "ukrotiti". Neke se od tih jednačina mogu lako riješiti.

Primjer

ima rješenja , , .

Slično je za svaku kubnu jednačinu s racionalnim koeficijentima (za koju su , , realni ), koja ima bar jedno racionalno rješenje. Kod takvih jednačina u pravilu je lako nači racionalno rješenje

, , .

Nakon što jednačinu pomnožimo sa zajedničkim imeniteljem svih koeficijenata, mora dijeliti slobodni, a vodeći koeficijent jednačine. Kako ima konačno takvih mogučnosti, načelno možemo doći i do one povoljne. Kad znamo racionalno rješenje , onda dijeljenjem možemo docć do rastava:

pa se preostala rješenja početne kubne jednacine dobiju rješavanjem kvadratne jednačine

Takve se kubne jednačine često pojavljuju u srednjoškolskim zadacima, a i na fakultetima. Međutim, što je s jednačinom

 ?

Izraz za dovoljno je velike pozitivne -ove pozitivan, a za dovoljno male negativne -ove negativan, pa je za neki jednak nuli. Zaključujemo da jednačina

ima bar jedno realno rješenje . Sada je

pa mogu nastupiti sljedeće mogučnosti:

  1. jednačina ima 3 realna različita rjesenja,
  2. jednačina ima 1 realno jednostruko i 1 realno dvostruko rješenje,
  3. jednačina ima 1 realno trostruko rješenje,
  4. jednačina ima jedno realno i dva konjugirano kompleksna rješenja.

U doba otkrivanja formula za rješenje kubne jednačine nije bilo kompleksnih brojeva pa su  ondašnji matematičari shvatili  jednačina ima 1 rjesenje. Kategorija:Algebra Kategorija:Teorija brojeva

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.