Vektorski proizvod

Vektorski proizvod definiše se na sljedeći način:

$\times :(E^{3},E^{3})\rightarrow E^{3}\,$

$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in E^3$

$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} =$

Jer su

${\overrightarrow {i}}=(1,0,0)$, ${\overrightarrow {j}}=(0,1,0)$ и :${\overrightarrow {k}}=(0,0,1)$ vektori kanonske baze $E^{3}.$

ili

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin(\omega )\,\mathbf {n}$

Osobine

$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \bot \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$, tj. vektorski proizvod dva vektora je normalan na njih same.

$|{\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}|=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\sin \omega$, gdje je :$\omega$ ugao između ova dva vektora. Intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori.

$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = - (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a})$, tj. vektorski proizvod nije komutativan .

$(\alpha \cdot \overrightarrow{a}) \times \overrightarrow{b} = \alpha (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$, gdje je $\alpha \in E$.,

$\mathbf {a} \times \mathbf {a} =0$

$\mathbf {i} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \times \mathbf {k} =0$

$\mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k}$ , $\mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i}$, $\mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j}$