Matematika Wiki
Advertisement

Vektor je matematički pojam iz oblasti linearna algebra. Uveden je prvenstveno da bi se razlikovale veličine koje se pojavljuju u prirodi, a imaju pravac i smjer, te se kao takve razlikuju od veličina koje imaju samo intenzitet i zovu se skalari.

Vektorske veličine su veličine određene sa dva ili više parametara. Najpoznatiji su primjeri vezani za geometriju u prostoru gdje se vektor određuje pravcem, smjerom i intenzitetom a predstavlja strelicom orijentisanom duž pravca, dužine proporcionalne intenzitetu, a čiji vrh pokazuje smjer na zadatom pravcu. Generalizovani vektor ne mora biti ograničen na tri dimenzije. Vektor u n-dimenzionalnom prostoru opisuje se sa n parametara.

Fizičko tumačenje vektora obično se svodi na trodimenzionalni prostor. Tako su vektorske veličine brzina,

  • sila
  • ubrzanje
  • impuls
  • moment impulsa...

Skalarne su

  • masa
  • temperatura
  • zapremina...

Fizičke veličine čija vektorska vrijednost zavisi i od koordinate nazivaju se tenzorske. One se matematički predstavljaju matricom, u najprostijem slučaju . Tenzorskim veličinama se opisuju vektorske veličine u anizotropnoj sredini npr. kod nekubičnih kristala. Tenzorske veličine su

  • toplotna provodljivost
  • električna provodljivost
  • difuzioni koeficijent
  • indeks prelamanja itd .

Definicija

Vektor se može definisati uređenim parom tačaka i iz . Tada je:

Vektor se može predstaviti i sa polaznom tačkom, jediničnim vektorom koji određuje njegov smjer i intenzitetom:

Ako zamjenimo sa koje može biti bilo koji broj iz definisali smo pravu koja prolazi kroz tačku a za vektor pravca ima vektor . Ako je samo ne-negativno ili samo ne-pozitivno, definisana je poluprava, sa početkom u tački .

Ako je rezultat je vektor koji je sa prethodnim kolinearan. Ako je novi vektor ovo znači da važi:

Označavanje

Vektori se označavaju malim podebljanim slovima kao a i malim kosim i podebljanim a, Druge konvencije uključuju . Alternativno, neki koriste (~) ili valovita podcrtano nacrtana ispod simbola, npr . Ako vektor predstavlja orjrntisanu duž ili pomak iz tačke A do tačke B označena kao ili AB. Vektori se predstavljaju i grafički.

Primjer

vektor

vektor od koordinantnog početka do tačke je

U trodimenzionalnom prostoru vektor se označava sa

ili .

U n-dimensionalnom prostoru

Pomoću matrica označavaju se kao vektor reda ili vektor kolone

. Drugi način predstavljanja vektora n-dimenzionalnom prostoru je pomoću je stamdardnih baznih vektora

555px-3D Vector.svg.png


.

odnosno

ili

.

Dekartove koordinate

U Dekartovom koordinatnom sistemu, vektor le određen koordinatama početne i završne tačke.

Primjer

Tačke i u prostoru određuju vektor

Nula-vektor

Nula-vektor je vektor čiji je intenzitet jednak nuli. Obiljeležava se kao nula sa naznakom za vektor.

Jedinični vektor

Jedinični vektor ili ort je vektor čiji je intenzitet jednak jedinici. Za svaki ne-nula vektor može se odrediti odgovarajući jedinični vektor istog pravca i smjera.

Ovaj postupak se zove normiranje vektora.

U Dekartovim koordinatama vektor je jedinični vektor duž x- ose. njegov početak je u koordinantnom portku .

Intenzitet vektora

Intenzitet vektora ili modul vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni korjen zbira kvadrata njegovih koordinata.

Jednakost vektora

Dva vektora

i

su jednaka ako važi

Kolinearni i komplanarni vektori

Vektori koji pripadaju istoj ili paralelnim pravama su kolinearni, a koj ipripadaju istoj ili paralelnim ravnima su komplanarni.

Projekcija vektora

Projekcija vektora

  • Ortogonalna projekcija u ravni na pravu je funkcija koja svakoj tački

ravni pridružuje tačku u kojoj normala na , koja prolazi tačkom , siječe prava .

  • Ortogonalna projekcija u prostoru na pravu je funkcija koja svakoj tački

prostora pridružuje tačku u kojoj ravan koja prolazi tačkom ,a okomita je na , siječe pravu .[1]

Suprotni, paralelni, i antiparalelni vektori

Dva vektora su suprotna ako imaju isti pravac i intenzitet a suprotan smjer tj. dva vektora

i

su suprotna ako važi

Dva vektora su paralelna ako imaju isti smjer, ili antiparalelni ako imaju suprotan smjer. Jednakost intenziteta nije nužan uslov.

Operacije sa vektorima

Sabiranje i oduzimanje vektora

Postupak sabiranja vektora najlakše je intuitivno razumjeti na primjeru sabiranja sila po pravilu paralelograma, koji je navodno bio poznat još u antičko doba, a eksplicitno ga spominju i Galileo i Newton.

U donjem dijelu lijeve skice prikazano je sabiranje vektora i po pravilu paralelograma, a u gornjem dijelu isti rezultat je dobijen nadovezivanjem vektora. Rezultati su jednaki, jer je prikazani trougao identičan gornjoj polovini paralelograma (a jednako se mogla koristiti i donja polovina). Nadovezivanje omogućuva jednostavnije sabiranje većeg broja vektora (skica desno): nadovezuju se jedan na drugi, a zbir je orjentisana duž odredjena početkom prvog i krajem zadnjeg vektora.

I u jednom i u drugom primjeru sabiranje vektora prikazano je orjentisanim dužinama koje se mogu po volji translatirati (paralelno premještati) a da pritom i dalje predstavljaju iste vektore. Kod sabiranja po paralelogramu, orjentisane duži postavljaju se u istu početnu tačku, a kod nadovezivanja početak druge se premješta u kraj prve

Sabiranje.vektora.png

Neka su data dva vektora i

Njihovo sabiranje se definiše kao sabiranje komponenti sa istim indeksima.

gdje je Vektor je iz

Za vektore zadane u važi

Osobine

Oduzimanje (rastavljanje) vektora na komponente je obrnuti postupak od sabiranja.

Primjer

Za paralelogram sa lijeve skice može se smatrati i da prikazuje rastavljanje vektora na komponente i . Rastavljanje vektora na komponente često je potrebno za razumjevanje njihove uloge, a i znatno olakšava račun.

800px-Oduzimanje.vektora.png


Pri čemu je

.

Množenje vektora skalarom

Vector multiplied by scalars.jpg


Množenje vektora nekim skalarom je definisano kao množenje svake koordinate tok vektora tim skalarom. Ova operacija je komutativna.

Za vektor važi

  1. vektori i su kolinearni
  2. su iste orjentacije
  3. su suprotne orjentacije
Osobine

Skalarno množenje vektora

Skalarno množenje vektora se definiše kao zbir proizvoda svih parova koordinata dva vektora, koje imaju iste indekse. Ovaj zbir i proizvod se preuzimaju iz polja . Razlika u odnosu na sabiranje je to što je rezultat skalarnog proizvoda dva vektora iz skalar iz . Konkretno za dva vektora a i b iz bi proizvod izgledao ovako:

, gde je

Ovdje treba primjetiti da je skalarni proizvod vektora takođe jednak

pri čemu je ugao između i .

Ovo znači i:

To jest da su dva vektora normalni, ako im je skalarni proizvod jednak nuli.

  • skalarna projekcija vektora na vektor
  • skalarna projekcija vektora na vektor
  • vektorska projekcija vektora na vektor
  • vektorska projekcija vektora na vektor
Posljedice skalarnog množenja
  • ili je bar jedan od vektora
  • ()
Osobine

Vektorski proizvod

Još jedan tip proizvoda karakterestičan za trodimenzionalne euklidske prostore je vektorski proizvod. Definiše se na sledeći način:

Jer su vektori kanonske baze .

Osobine
  • , tj. vektorski proizvod dva vektora je normalan na njih same.
  • , gdje je ugao između ova dva vektora. Ovo zapravo znači da je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori.
  • , tj. vektorski proizvod nije komutativan.
  • , gdje je . Tj. vektorski proizvod se lijepo ponaša prema množenju skalarom slijeva.
  • i kolinearni ili je barem jedan od vektora

Mješoviti proizod

Mješoviti poizvod vektora je matematička operacija koja uređenu trojku vektora iz preslikava u skalar iz . Zapisuje se sa

A po definiciji je:

 :

Što znači da je vrijednost mješovitog proizvoda tri vektora jednaka volumenu paralelepipeda kojeg oni oblikuju.

Osobine

Izvori

  1. https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Vector
  2. http://www.marco-learningsystems.com/pages/roche/introvectors.htm
  3. http://fabulierer.de/vektorrechnung-fuers-abitur/
  4. http://www.mathe-online.at/mathint/vect1/i.html
  5. http://www2.geof.unizg.hr/~jbeban/M1/04.pdf


Advertisement