Trohoida je kriva koju opisuje tacka koja je na rastojanju od centra kruga poluprecnika koja se kotrlja po pravoj. Trohoide su dobile ime od Robervala. U zavisnosti od rastojanja i poluprecnika imamo sljedecu podjelu trohoida

Za h=a kriva je upravo cikloida.

Za kriva se naziva skracena cikloida

Trohoida.jpg





Za kriva se naziva produzena cikloida.

Trohoida 1.jpg




Duzina luka i povrsina ispod jednog svoda trohoide[uredi | uredi izvor]

Neka je dat nepravilan konveksni n-ugao, koji se kotrlja po pravoj bez klizanja.

Trohogonal.jpg

Posmatrana tacka koja ostavlja trag je unutar mnogougla. Trohogonalna povrsina je povrsina izmedju tih lukova (trohogon) i prave na kojoj se cetvorougao kotrlja i sastoji se od cetiri kruzna isjecka i skupom od pet trouglova, dobijena je razdvajanjem datog mnogougla.


Trihogon4.jpg


Unutrasnja tacka n-ugla, sa jednim obrtajem po pravoj, sa tragom odredjuje trohogonalnu povrsinu, koja se sastoji od n kruznih isjecaka, i skupom od n+1 trouglova, koje mozemeo dobiti dijeljenjem ≤datog mnogougla. Dobijena povrsina jednaka je zbiru povrsina M kotrljajuceg mnogougla i zbiru povrsina n kruznih isjecaka. Povrsina k-tog isjecka jednak je

je poluprecnik kruznog isjecka sa uglom za radijana, duzina poluprecnika jednak je rastojanju izmedju k-tog tjemena mnogougla i tacke koja ostavlja trag, a ugao je spoljasnji ugao mnogougla, koji lezi kod k-tog tjemena. Povrsinu ispod jednog svoda trohogona mozemo napisati formulom:

Duzina lukova dobijenih kruznih isječaka je za

Zbir duzina svih tih lukova je koju zovemo duzinom luka jednog svoda trohogona



Ako je kotrljajuci n-ugao pravilan, i posmatrana tacka koja ostavlja trag se nalazi u unutrasnjosti mnogougla, onda dobijenu krivu nazivamo skracenim ciklogonom, a ako je izvan pravilnog mnogougla, onda cemo dobiti produzeni ciklogon.

Tada je svaki od spoljasnjih uglovova jednak sa spoljasnjim uglom mnogougla, tj. sa radijana, pa je

Pomocu kompleksnih brojeva mozemo pojednostaviti zbir

Neka , , …, leze na kruznici poluprecnika i centrom opisanekruznice u koordinatnom pocetku.

Kako je

imamo


, , …, su vrhovi mnogougla pa vazi

pa je

je povrsina kruga opisanog oko mnogougla je povrsina kruga ciji je poluprecnik jednak rastojanju izmedju centra opisane kruznice i tačke z.


Kinematika tacke[uredi | uredi izvor]

Trohoida 10.jpg

Posmatrajmo trohoidu sa slike. Njena parametarska jednacina je

C je centar rotacije (tacka koja se krece pravolinihski brzinom V)

R je poluprecnik rotacije

ugaona brzina (konstanta)

Brzina tacke M moze se odrediti pomocu prvog izvoda parametarskih jednacina

Ubrzinje tacke M moze se odrediti pomocu drugog izvoda parametarskih jednacina


Specijalan slucaj trohoide za jecikloida

Datoteke u kategoriji "Trohoide"

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.