Torus

Torus je obrtna površ koja se dobija kada se rotira kružnica u trodimenzionom prostoru oko ose koplanarne sa kružnicom, a koja ne dodiruje krug.

1. Ako osa rotacije ne dodiruje kružnicu površ ima oblik prstena i naziva se prstenasti torus ili samo torus.
2. U slućaju da je osa rotacije tangenta kružnice dobijena površ se naziva rog torus
3. kada za osu rotacije uzmemo tetivu kružnice rezultujuća površ je vretenasti torus.

Jednačina

Kao takva površ torus ima "rupu". Ako označimo sa c radijus od centra  rupe  do centra torusa, a sa a radijus torusa dolazimo do njegove parametarske jednačine u obliku:

$\begin{cases} x = (c + a cos v) cos u \\ y = (c + a cos v) sin u \\ z = a sin v \end{cases}$

za $u, v \in [0, 2\pi)$

gdje je

$u$ i $v$ su uglovi koji čine puni krug, tako da njihove vrijednosti počinju i završavaju u istoj tački, $c$ je udaljenost od centra cijevi do središta torusa, $a$ je promjer cijevi. $c$ je glavni radijus, a $a$ sporedni radijus.

Implicitna jednačina u Kartezijevim koordinatama je

$\left(c - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = a^2,$

Površina i zapremina

Površina torusa je

$P = \left( 2\pi r \right) \left(2 \pi R \right) = 4 \pi^2 ca$

a zapremina

$V = \left ( \pi a ^2 \right ) \left( 2 \pi c \right) = 2 \pi^2 ca^2$

Prstenasti torus

Parametarska jednačina prstenastog torusa je

$\begin{cases} x = (c + a cos v) cos u \\ y = (c + a cos v) sin u \\ z = a sin v \end{cases}$

za $u, v \in [0, 2\pi)$ $i a>c$

thumb|left

Prstenasti torus i njegov presjek

Koeficienti prve kvadratne forme su:

$E = (c + a cos v)^2$

$F = 0$

$G = a^2$

dok za koeficiente druge kvadratne forme dobijamo:

$L =-(c + a cos v) cos v$

$M=0$

$N = -a$

Gausova i srednja kriva su date sa:

$K_G = \frac{cos v}{a(c + a cos v)}$

$K_S = \frac{- c + 2a cos v}{2a(c + a cos v)}$

Rog torus

Uzimajući u jednacini

$\begin{cases} x = (c + a cos v) cos u \\ y = (c + a cos v) sin u \\ z = a sin v \end{cases}$

da je $c = a$ dobijamo parametarsku jednačinu rog torusa

$\begin{cases} x = a(1 + cos v) cos u \\ y = a(1 + cos v) sin u \\ z = a sin v \end{cases}$

thumb|left

Rog torus i njegov presjek

Za koeficiente prve kvadratne forme dobijamo:

$E = 4a^2 cos^4 (\frac{1}{2}v)$

$F = 0$

$G = a^2$

dok su koeficienti druge kvadratne forme rog torusa:

$L = -2 a cos^2 (\frac{1}{2})cos v$

$M=0$

$N = -a$

Vretenasti torus

Kod vretenastog torusa parametarska jednačina, formule za koeficiente prve i druge kvadratne forme i formule za izračunavanje srednje i Gausove krive su iste kao i kod prstenastog torusa, uz uslov $c < a$.

thumb|left

Vretenasti torus i njegov presjek

Dvostruki torus

1/2

Dvostruki torus naziva se jos i perec. Formirana se od dvije petlje viviani krive i kružnog luka

thumb|left

Dvostruki torus koji ima 2 ravni simetrije. Njegova jednačina je

$\begin{bmatrix} (x^2(1-x^2)-y^2)^2 \end{bmatrix}+z^2=0,01$

thumb|left

Na osnovu Bernoullijeve lemniscate dobijamo jednadčinu $\begin{bmatrix} (x^2+ y^2)^2-x^2+y^2 \end{bmatrix}^2+z^2=0,01$

thumb

Trostruki torus ima jednačinu $\begin{bmatrix} (x^2+y^2)^2-x(x^2--3y^2)^2 \end{bmatrix}^2+z^2=0,0008$

thumb

Jednačina četverostrukog algebarskog torusa je $\begin{bmatrix} x^2(1-x^2)^2(4-x^2)^3-20y^2 \end{bmatrix}^2+80z^2=2$

Reference

http://www.pmf.ni.ac.rs/pmf/master/matematika/doc/2013/2013-11-15-kn.pdf

Kategorija:Stereometrija