Teorema (o prostim brojevima) – engl. Prime Number Theorem (PNT)

Tvrdnja teoreme je da se funkcija moze aproksimirati na sljedeci nacin

odnosn


Prvu sumnju o ovom problemu predstavili su, nezavisno jedan o drugome, C.F.Gauss i A.M.Legendre na prijelazu iz XVIII u XIX vijek.

Legendre je 1798. god. formulisao aproksimaciju za u obliku:

Utvrdio je da bi za najbolju aproksimaciju konstante trebale biti A = 1, B = −1.08366. Legendre je radio sa tablicama prostih brojeva gdje je x bio manji od 400 000, te je zbog toga pogresno odredio konstantu B. Na vecim primjerima se pokaze da je aproksimacija bolja ako je B = -1.

Gauss je u svom poznatom pismu njemackom astronomu Johann Franz Enckeu, poslanom na Badnjak 1849, napisao kako je on kao aesnaestogodisnjak primjetio da gustoca prostih brojeva opada aproksimativno kao . Te je dosao do pretpostavke da bi se funkcija mogla prikazati pomocu



Prosti brojevi 3.jpg

1896. Jacques-Salomon Hadamard i Charles Jean de la Vallée-Poussin dokazali su nezavisno jedan o drugome PNT. Svedski matematicar Niels Fabian Helge von Koch je pokazao, ako je Riemannova hipoteza tacna, da vrijedi: Najbolja aproksimacija od navedenih u tablici, za funkciju je Gaussov , te se po L'Hospitalovom pravilu dobija


Prosti broj 4.jpg

Usporedjivanje raznih aproksimacija za




Procjena n-tog prostog broja

Neka je n-ti prost broj, tada kao posljedica PNT sljedi:


Pierre Dusart :

G. Robin: za

Milioniti prosti broj je prema toj procjeni između 15,434,000 i 15,502,000

Tacna vrijednost

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.