Tacka prava i ravan

Dvije tacke mogu se podudarati i razlikovati.

Tacka i prava mogu biti u ovim medjusobnim polozajima:

1. točka T lezi na pravoj p,
2. tacka T lezi van prave p.

Tacka i ravan mogu biti u ovim medjusobnim polozajima:

1. tacka T lezi u ravni
2. tacka T lezi ivan ravni.

Dvije prave mogu biti u sljedecim medjusobnim polozajima:

1. pravci $p_1$ i $p_2$ se podudaraju ( $p_{1}\cap p_{2}=p$ )
2. pravci $p_1$ i $p_2$ su paralelni i razliciti ( $p_{1}\cap p_{2}=\varnothing$ )
3. prave $p_1$ i $p_2$ se sijeku( $p_{1}\cap p_{2}=\left\lbrace A\right\rbrace$ )
4. prave $p_1$ i $p_2$ se mimoilaze

Za dvije prave kazemo da su mimoilazne ako ne postoji ravan u kojoj leze obe prave.

Dvije ravni mogu biti u ovim medjusobnim polozajima:

1. ravni $\alpha_1$ i $\alpha_2$ se podudaraju ($\alpha _{1}\cap \alpha _{2}=\alpha$ )
2. ravni $\alpha_1$ i $\alpha_2$ su paralelne i razlicite $\alpha _{1}\cap \alpha _{2}=\varnothing$ )
3. ravni $\alpha_1$ i $\alpha_2$ se sijeku (presjek 2 ravni je prava)($\alpha _{1}\cap \alpha _{2}=p$)

Prava i ravan u prostoru mogu biti u sljedecim medjusobnim polozajima:

1. prava $p$ lezi u ravni $\alpha$
2. prava $p$ i ravan $\alpha$ se ne sijeku
3. prava $p$ probada ravan $\alpha$.

Ako se prava i ravan ne sijeku, oni su paralelni.

Ako prava probada ravan, njihov presjek je jedna tacka.

Ako dvije razlicite tacke pravca $p$ leze u ravni $\alpha$, onda prava $p$ lezi u ravni $\alpha_1$.

Paralelnost

Dvije prave u ravni su paralelne ako se podudaraju ili se ne sijeku.

Dvije prave u prostoru su paralelne ako se podudaraju, ili se ne sijeku ali leze u istoj ravni.

Dvije ravni u prostoru su paralelne ako se ne sijeku ili se podudaraju.

Za pravu i ravan u prostoru kazemo da su paralelni ako se ne sijeku ili prava lezi u ravni.

Ako je prava $p$ paralelan s ravni $\alpha$, onda u ravni $\alpha$ postoji prava paralelna sa pravom $p$.

Odredjenost ravni

Ravan je odredjena sa

1. tri nekolinearne točke
2. pravom i tacka koja ne lezi na toj pravoj
3. dvije prave koje se sijeku
4. dvije razlicita paralelne prave
5. . Prave koje se podudaraju

Normalnost

Normalnost pravih

Za dvije prave u ravni kazemo da su normalni ako zatvaraju pravi ugao.

Neka su $p$ i $q$ dvije mimoilazne prave. Odaberimo jednu tacku A na pravoj p. Kroz tu tacku prolazi tacno jedna prava paralelna s pravcom $q$ (prema Petom Euklidovom aksiomu).

Oznacimo tu pravu sa $q_1$.

Kažemo da su prave $p$ i $q$ normalne ako su prave $p$ i $q_1$ normalne.

Ako su prave $p$ i $q$ normalne, pisemo $p \perp q$.

Prave $p$ i $q_1$ se sijeku u tacki A pa leze u istoj ravni, te znamo odrediti jesu li oni normalne ili nu.

Da smo umjesto tacke A uzeli neku drugu tacku B na pravoj $p$ i kroz nju povukli paralelu $q_2$ sa pravom $q$. Neka vrijedi $q_{1}\perp p$ bilo bi nuzno i $q_{2}\perp p$

Iz $q_{1}||q$ $q_{2}||q$ slijedi $q_{1}|q_{2}$

Zbog $q_{1}||q_{2}$, ekvivalentne su tvrdnje $q_{1}\perp p$ i $q_{2}\perp p$.

Svejedno je koju tacku prave $p$ odaberemo.

$p\perp q=>q\perp p$ relacija je simetricna

Normalnost prave i ravni

Prava $p$ normalna je na ravan $\alpha$ ako je normalan na svaku pravu te ravni.

Teorema

Prava je normalna na ravan ako je normalna na neke dvije neparalelne prave te ravni.

Normalnost dvije ravni

Ravan je normalna na drugu ravan ako sadrzi pravu koja je normalna na tu ravan

Simbolima zapisano:

$\alpha _{1}\perp \alpha _{2}<=>(\exists p\subset \alpha _{1})p\perp \alpha _{2}$

Normalna projekcija tacke T na ravan $\alpha$ je probodiste ravni $\alpha$ i prave $q$ koji prolazi kroz T i normalan je na $\alpha$.

Teorema o tri normale

Ako je normalna  projekcija $p'$ prave $p$ na ravan $\alpha$

normalna neku pravu $q$ te ravni, onda je i prava $p$ normalna na $q$.

Vrijedi i obratno,

ako je $p$ normalno na $q$, onda je $p'$ normalno na $q$.

Ugao

Ugao izmedju dvije prave

Znamo odrediti ugao izmedju dvijju prave u ravni. Ugao izmedju dvije mimoilazne prave definise se slicno kao mormalnost mimoilaznih pravi.

Definicija

Neka su $p$ i $q$ dvije mimoilazne prave. Odaberimo jednu tacku A na pravoj $p$. Neka je $q_1$ prava kroz tacku A koja je paralelana s pravom $q$. ugaoizmedju pravih $p$ i $q$ definise se kao ugao izmedju $p$ i $q_1$.

Ugao izmedju paralelnih pravi je $0^{o}$, a između normalnih pravai $90^o$. U svim ostalim slucajevima, ugao izmedju pravih je izmedju te dvije vrijednosti.

Ugao izmedju prave i ravni

Ugao izmedju pravi i ravni definise se kao ugao izmedju prave i njegove normalne projekcije na tu ravan. Ovo naravno ima smisla samo ako je normalna projekcija prava. Ako je prava normalna na ravan, ugao izmedju prave i ravni je $90^o$.

Ako su prava i ravan paralelni, ugaot izmedju njih je $0^{o}$.

Ugao izmedju dvije ravni

Ako su ravni paralelne, ugao je $0^{o}$.

Neka se dvije ravni $\alpha_1$ i $\alpha_2$ sijeku duz prave $p$, i neka je $\beta$ bilo koja ravan normalna na pravu $p$.

Ravan $\beta$ sijece ravan $\alpha_1$ duz prave $q_1$, a ravan $\alpha_2$ duz prave $q_2$.

Ugao izmedju ravni $\alpha_1$ i $\alpha_2$ definise se kao ugao izmedju pravih $q_1$ i $q_2$

Prave $q_1$ i $q_2$ mormalni su na pravu $p$.

Udaljenost

Neka su A i B dva skupa tacaka u ravni. :Udaljenost tih skupova je najmanja udaljenost medju tackama tog skupa.

$d(A,B)=\inf {d({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})|A\in {\mathcal {A}},B\in {\mathcal {B}}}$

Ako su skupovi A i B zatvoreni, pa se infimum moze zamijeniti s minimumom.

Udaljenost dvije tacke je duzina duzine kojoj su te tacke krajevi.

Udaljenost tacke od prave je udaljenost te tacke od njene normalne projekcije na tu pravu.

Udaljenost tacke M od prave $p$ odredjene tackom $P\in p$ i vektorom pravca $\overrightarrow{p}$ dato je formulom

$d={\frac {|{\overrightarrow {p}}\times {\overrightarrow {PM}}|}{|{\overrightarrow {p}}|}}$

Udaljenost tacke od ravni je udaljenost te tacke od njene normalne projekcije na tu ravan.

Udaljenost tacke $M(x_{0},1,y_{0},z_{0})ravni<math>\alpha :ax+by+cz+d=0$ da</math>to je formulom

$d={\frac {|ax_{0}+y_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

Udaljenost dvije prave

Udaljenost dvije paralelne prave je udaljenost jedne (bilo koje) tacke prve prave od njene mormalne projekcije na drugu pravu. Udaljenost dvije mimoilazne prave postize se na njihovoj zajednickoj normali. Tj. ako je $n$ zajednicka normala pravih $a$ i $b$, i ako $n$ sijece pravu $a$ u tacki A, a pravu $b$ u tacki B, onda je $d(a,b)=d(A,B)$.

Zajednicka normala dvije prave je prava koja je normalna na obe prave. Svake dvije prave imaju zajednicku normalu. Za mimoilazne prave ona je jedinstvena. Ako se prave sijeku, udaljenost izmedju njih je nula.

Udaljenost prave od ravni

Ako je prava paralelna s ravni, njihova udaljenost jednaka je udaljenosti bilo koje tacke prave od ravni. Ako se prava i ravan sijeku, udaljenost medju njima je nula.

Udaljenost dvije ravnine

Udaljenost dvije paralelne ravni jednaka je udaljenosti bilo koje tacke prve ravni od druge ravni, tj. od njene normalne projekcije na drugu ravan. Ako se dvije ravni sijeku, udaljenost medju njima je nula.