Matematika Wiki
Advertisement

Matematika I

Pojam skupa

Pojam skupa se ne definira. Na pitanje što je skup, navode se primjeri da se vidi što se pod tim pojmom podrazumijeva.

Na primjer:

  • Učenici jednog razreda.
  • Sve točke na nekom pravcu.
  • Svi prirodni i umjetni sateliti Zemlje.

Svaki skup sačinjavaju objekti koji imaju neko zajedničko obilježje. Pritom su elementi ili članovi skupa. Skupove označavamo s Ako želimo istaknuti elemente skupa , onda koristimo oznaku .

Zapis znači da je x element skupa S. Ako x ne pripada skupu S koristimo oznaku

Za skup kažemo da je dobro definiran (određen) ako za svaki objekt možemo utvrditi je li element tog skupa ili nije.

Primjer.

Da li je skup zanimljivih figura dobro definiran skup?

Odgovor:

Nije, jer nisu svim ljudima iste figure zanimljive.

Zadavanje skupova

1.Skup zadajemo tako da navedemo sve njegove elemente. Primjer. Elementi skupa S su brojevi 2, 3, 4, 5 i 6 ili S = { 2,3,4,5,6 }.

2. Skup zadajemo tako da navedemo obilježje koje imaju elementi skupa. Primjer. Elementi skupa A su svi trokuti ili A = {x | x je trokut}. Simbol | čita se „takvih da“.

3. Skup zadajemo tako da navedemo uvjet (ili uvjete) koji zadovoljavaju svi elementi skupa. Općenito, ako elementi skupa S zadovoljavaju uvjet U, skup S ćemo izraziti S = { x | U }.

Primjer 1.

Q je skup svih razlomaka takvih da je m element skupa cijelih brojeva Z, a n element skupa prirodnih brojeva N ili Q = {m/n| m ∈ Z, n ∈ N }.

Primjer 2. Skup S = { 2,3,4,5,6 } može se izraziti i ovako:S = { x∈N | 2x+3≥7 i 3x-1≤18 } thumb|Slika 1 4. ø je simbol za prazan skup. Prazan skup je skup koji nema ni jednog elementa. Na primjer: Skup svih realnih rješenja jednadžbe Skup svih zajedničkih točaka dva paralelna pravca. Skup svih ljudi visokih 4 m.

Prazan skup možemo definirati ovako: ø = {x | x ≠ x}.

5. Zorno prikazivanje skupova pomoću Vennovih dijagrama. sl. 1

Presjek skupova

thumb|Slika 2 thumb|Slika 3 thumbthumb|slika 3 Presjek ili zajednički dio skupova A i B je skup koji čine svi elementi koji su i u skupu A i u skupu B. Označavamo ga A∩B.

A∩B = {x | x∈A i x∈B}. sl. 2.

Primjer. Zadani su skupovi A ={1,2,3}, B = {0,3} i C = {0,4}.

Treba naći A∩B i A∩C .

Rješenje: A∩B = {3}, a A∩C = ø .

Ako je presjek skupova prazan skup, tada kažemo da su oni disjunktni.

Prema tome, A i C su disjunktni skupovi. sl. 3.

Unija skupova

thumb|Slika 4

Unija skupova A i B je skup koji čine svi elementi koji pripadaju barem jednom od skupova A i B. AU B = {x | x∈A ili x∈B}. sl. 4.

Primjer. Neka su skupovi A = {1,2,3} i B = {2,3,4,5}. Tada je A U B = {1,2,3,4,5}.

Podskup

thumb|Slika 5

Za skup A kažemo da je podskup skupa B i pišemo A⊆ B, onda i samo onda, ako je svaki element iz A ujedno i element iz B, tj. ako je A∩B = A. sl. 5.

Za skup A kažemo da je pravi podskup od B i pišemo A⊂ B onda i samo onda, ako je svaki element iz A ujedno i element iz B pri čemu je kardinalni broj skupa A manji od kardinalnog broja skupa B, tj. kA < kB.

Primjer. Ako su zadani skupovi A = {1,2} i B = {1,2,3}, A je podskup od B, A ⊆ B. Štoviše, A je pravi podskup od B, što pišemo A⊂ B. Također vrijedi da je B⊆ B, tj. svaki je skup sam sebi podskup.

Nadalje, za svaki skup S vrijedi da je S∩ ø = ø. Odatle zaključujemo da je prazan skup podskup svakog skupa.

Jednakost skupova

Za skupove A i B kažemo da su jednaki i pišemo A = B onda i samo onda ako je A ⊆ B i B⊆ A, tj. ako je svaki element iz A ujedno i element iz B, i obratno, svaki element iz B je ujedno i element iz A.

Diferencija skupova

thumb|Slika 6 Skup svih elemenata iz A koji nisu i u B nazivamo diferencijom skupova A i B i označavamo A \ B. A \ B = {x | x∈A i x∉B}. sl. 6.

thumb|Slika 7 Primjer. Ako su skupovi A = {2,3,4} i B = {1,2}, tada je A \ B = {3,4}, a B \ A = {1}. Skup (A \ B ) U ( B \ A) zove se simetrična diferencija. Prikaz simetrične diferencije pomoću Vennovog dijagrama sl. 7.


Zadaci za vježbu

Obrazložite sljedeće jednakosti:

  1. A \ ø = A
  2. ø\ A = ø
  3. (A \ B) \ C = (A \ C) \ B.


Pojam komplementa. Univerzalni skup. Neka je P podskup skupa S. Skup zove se komplement od P u odnosu na S i označava ). sl. 8. thumb|slika 8

Primjer. Ako je S = {1,2,3,4} i P = {1,2}, tada je .

Ako je , tada je


U slučajevima kada je iz konteksta jasno da je S skup, umjesto pišemo ili .

Skup obično je tada neki obuhvatniji skup koji razmatramo pa se kao takav zove univerzalni skup i označava s . Njega obično predočavamo pravokutnikom, a njegove podskupove krugovima. sl. 9.

Slika 9

Svojstva presjeka, unije i diferencije (komplementa)

1. Komutativnost

A∩B = B∩A

AU B = BU A

2. Asocijativnost

(A∩B)∩C = A∩(B∩C)

(AU B) U C = AU (BU C)

3. Idempotentnost

A ∩A = A

AU A = A

4. Distributivnost

A∩(BU C) = (A∩B) U (A∩C)

AU (B∩C) = (AU B)∩(AU C)

5. Svojstva praznog i univerzalnog skupa

A ∩ ø = ø

A ∩U = A

AU U = U

AU ø = A

12

6. De Morganovi zakoni

(AU B) C = AC ∩ BC

(A∩B) C = AC U BC

7. Involucija

( AC C ) = A

Valjanost ovih zakonitosti može se provjeriti Vennovim dijagramima, ali i dokazati

pomoću operacija koje smo ranije definirali. Za primjer dokažimo De Morganov zakon

(AU B) C = AC ∩ BC .

(AU B)C = {x | x∈U \(AU B)}

= {x | x∈U i x∉(AU B)}

= {x | x∈U i (x∉A i x∉B)}

= {x | (x∈U i x∉A) i (x∈U i x∉B)}

= {x | (x∈U \ A) i (x∈U \ B)}

= {x | (x∈AC ) i (x∈BC )}

= {x | x∈(AC ∩BC )}

= AC ∩BC

Kardinalni broj skupa

Broj elemenata n skupa S definiramo kao kardinalni broj skupa S i označavamo kS = n.

Primjer. Kardinalni broj skupa S = {1,2,3,4} je kS = 4.

Partitivni skup

Neka je S bilo koji dani skup. Skup svih podskupova od S nazivamo partitivnim skupom

skupa S i označavamo P(S).

Primjer. Ako je S = {1,2,3}, onda je partitivni skup

P(S) = {ø ,{1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}.

Ako je kardinalni broj skupa S jednak n, tj. kS = n, tada je kardinalan broj partitivnog

skupa kP(S) = 2n.

Primjer 1. Kardinalni broj partitivnog skupa skupa S = {1,2,3} je kP(S) = 23 = 8 .

Primjer 2. Kardinalni broj partitivnog skupa skupa T ={a,b,c,d} je kP(T) = 24 = 16 .

Particija skupa

Neka je S bilo koji dani skup. Svaki podskup P od P(S)\{ø} zovemo particijom ili disjunktnim rastavljanjem skupa S ako su ispunjena ova dva uvjeta:

1. Unija svih elemenata iz P je S;

2. Ako su A i B različiti elementi iz P tada je A∩B = ø.

Primjer. Jedna particija skupa S = {1,2,3,4,5,6,7} je P = {{1}, {2}, {3,4,5},{6,7}}, jer je

1. {1}U {2}U {3,4,5}U {6,7} = S

2. {1}∩ {2}∩ {3,4,5}∩{6,7} = ø.

Zadatak za vježbu

Navedite još nekoliko particija skupa S iz prethodnog primjera.

Kartezijev ili direktni produkt skupova

Ako su A i B skupovi, tada skup svih parova (a,b) kod kojih je a∈A i b∈B nazivamo

kartezijevim ili direktnim produktom i označavamo A×B, tj.

A×B = {(a,b)│a∈A i b∈B}.

Primjer 1. Zadani su skupovi A = {1,2,3} i B = {x,y}. Nañite kartezijeve produkte A×B i

B×A skupova A i B.

Rješenje. A×B = {(1,x), (1,y), (2,x), (2,y), (3,x), (3,y)}

B×A = {(x,1), (x,2), (x,3), (y,1), (y,2), (y,3)}

Primijetimo da je A×B ≠ B×A jer se sastoje od različitih ureñenih parova. (1,x) ≠ (x,1),

(2,x) ≠ (x,2), itd.

Primjer 2. Neka su skupovi A = {a,b}, B = {x,y} i C = {c}.

Odredite A×B×C!

Rješenje. A×B×C = {(a,x,c), (a,y,c), (b,x,c) (b,y,c)}.

Elementi kartezijevog produkta su u ovom slučaju ureñene trojke brojeva.

Primjer 3. Ako je A = {0,1}, odredite A×A i A×A×A

Rješenje. A×A = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}

A×A×A = {(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), ( 1,1,0), (1,0,1), (0,1,1),(1,1,1

Advertisement