Skup

Skup je osnovni pojam moderne matematike.

Neformalno, pod skupom se podrazumijeva svaka vrsta kolekcije razlicitih predmeta (Georg Cantor. Na pojmu skupa stoji danasnja matematika, jer upravo taj pojam se uzima, zajedno s logikom prvog reda, za gradnju matematike na aksiomama.Skup mozemo zadati njegovim elementima (clanovima) konacnim ili beskonacnim:

$S=\lbrace 1,2,3,4,5,6\rbrace$ , $T=\lbrace a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},...\rbrace$

Cesto skup zadajemo i pomocu nekog pravila:

$S=\lbrace n\in \mathbf {N} :n<7\rbrace$ .

Neke skupove oznacavamo uvijek istim slovima

N prirodni brojevi
R realni brojevi
Q racionalni brojevi...

Skup koji nema ni jedan element naziva se prazni skup.

Jednacina $x^2+1=0$ u skupu $R$ nema rjesenja.

Operacije sa skupovima[]

Presjek skupova[]

Presjek ili zajednicki dio dva skupa je skup koji cine elementi koji su u skupu $A$ i u skupu $B$ . Označavamo ga sa

$A \cap B = \{ x \mid x \in A \land x \in B \}$

Za relaciju presjek vazi zakon komutacije

$A \cap B = B \cap A$ $A = \{1, 2, 3\}$

$B=\{3,4\}$

$A\cap B=\{3\}$

Za $B={4}$ bilo bi

$A\cap B=\{\varnothing \}$

Dvije paralelne prave su disjunktne. Za skupove A i B kazemo da su disjunkti ako i samo ako je njihov presjek prazan skup.

Unija skupova[]

Unija skupova $A$ i $B$ je skup koji cine svi elementi koji pripadaju barem jednom od skupova $A$ i $B$ . Oznacavamo ga sa .

$A \cup B = \{ x \mid x \in A \lor x \in B\}$

Za relaciju unija vrijedi zakon komutacije

$A \cup B = B \cup A$

Za relacije unije i presjeka vaze relacije $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C),(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$ (zakon asocijacije)

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C),A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ (zakon distribucije)

Podskup[]

Za skup $A$ kazemo da je podskup skupa $B$ ako i samo ako je svaki element iz $A$ ujedno i element iz $B$ ili $A\cap B=A$ . Oznacavamo ga sa

$A\subseteq B=A$

Skup kome je $A$ podskup zove se nadskup skupa $A$ . Ako je $A$ podskup od $B$ i ako $B$ ima bar jedan element koji nije u $A$ kazemo da je $A$ pravi podskup od $B$ . Svaki podskup mozemo shvatiti kao njegov nepravi podskup . za svaki skup vrijedi

$A\cap \{\varnothing \}=A$ tj $\varnothing$ je podskup svakog skupa. Skupovi $A$ i $B$ su neuporedivi u odnosu na relaciju podskup ako nije $A \subset B$ , a niti $B \subset A$

Prazan skup[]

Prazan skup $\varnothing$ skup koji nema nijednog elementa i on je podskup svakog skupa.

Jednaki skupovi[]

Za skupove $A$ i $B$ kazemo da su jednaki i pisemo $A = B$ onda i samo onda ako su elementi skupa $A$ i elementi skupa $B$ i obrnuto ako su elementi skupa $B$ elementi skupa $A$ .

Razlika (diferencija) skupova[]

Ako su $A$ i $B$ skupovi tada skup svih elemenata skupa $A$ koji nisu u $B$ nazivamo razlika skupova $A$ i $B$ i pisimo

$A\setminus B=\{x\mid x\in A\land x\notin B\}$

Simetricna razlika skupova[]

Simetricna razlika skupova $A$ i $B$ je skup $A \triangle B$ koji sadrzi sve elemetnte skupova $(A\setminus B)$ i $(B\setminus A)$ i pisemo

$A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

Komplement skupova[]

Neka je $A \subseteq B$ . Komplement skupa $A$ u odnosu na skup $B$ je skup svih elemenata iz $B$ koji ne pripadaju skupu $A$ . Pisemo:

$C_{B}(A)=$ $x\in Bi$ $x\notin B$

Partitivni skup[]

Neka je $A$ proizvoljni skup. Skup svih podskupova skupa $A$ nazivamo partitivni skup skupa $A$ . Pisemo:

$P(A)={X:X\subseteq A}$

Kartezijev (direktni) proizvod skupova[]

Ako su $A$ i $B$ skupovi skup svih parova $(a,b)$ kod kojih je $a \in A$ i $b\in B$ oznac avamo sa $AXB$ nazivamo kartezijev ili direktni proizvod skupova A i B.Konacni i beskonacni skupovi Za skup $A$ kazemo da je ekvivalentan skupu $S$ ako i samo ako postoji bijekcija sa $A$ na $S$ .

Za relaciju ekvivalencije skupova vrijede sljedece osobone:

Refleksivnost

$A\thickapprox A$ za $A\neq \varnothing$

Simetričnost

$A\thickapprox B<=>B\thickapprox A$

Tranzitivnost

$A\thickapprox B\ iB\thickapprox C<=>A\thickapprox C$

Neke osobine skupova

Svaki skup moze se preslikati na svoj pravi podskup.
Svaki skup koji se moze preslikati na svoj pravi podskup je beskonacan.
Skup je konacan ako i samo ako se moze preslikati na svoj pravi podskup.

Ako su $A$ , $B$ , $C$ skupovi sa osobinom $A \subset B$ ; $B \subset C$ i $A$ je ekvivalentan sa $C$ onda je $A$ ekvivalentan sa $B$ .

Kardinalni broj skupa[]

Ekvivalentni skupovi se još zovu i istobrojni. Umjesto

$A\thickapprox B$ pisemo $k(A)=k(B)$ – kardinalni broj skupa $A$ jednak je kardinalnom broju skupa $B$ .

Cantorova teorema

Za svaki skup $S$ vrijedi $k(S)<kP(S)$ gdje je $P(S)$ partitivni skup skupa $S$ . Kardinalni brojevi koji nisu konacni su transfinitni.

Korolar

Ne posatoji najveci transfinitni kardinalni broj

G Cantor je postavio hipotezu da izmedju brojeva $k(N)$ i $kP(N)$ nama nijednog kardinalnog broja. To je hipoteza kontinuuma.

Ovu hipotezu su nastojali dokazati ili opovrgnuti mnogi matematicari pa i sam Cantor (osnivac teorije skupova). Ovaj problem je ostao nerijesen sve do 1963.god. kada je Amerikanac P Cohen(Koen) dokazao da ova hipoteza ne zavisi od ostalih aksioma teorije skupova. Isto kao što i V postulat Euklidove geometrije ne zavisi od ostalih aksioma.

Teorema

Ako su skupovi $A$ i $B$ prebrojivi onda je prebrojiv i skup $A \cup B$

Teorema

Ako su skupovi $A$ i $B$ prebrojivi onda je prebrojiv i skup $AxB$

Teorema o ekvivalenciji

Ako je skup $A$ ekvivalentan sa podskupom skupa $B$ i $B$ ekvivalentan sa podskupom skupa $A$ onda su skupovi $A$ i $B$ ekvivalentni tj. $k(A)=K(B)$

Ako je skup $A$ konacan ,a $S$ beskonacan onda je $k(A\cup S)=k(S)$

Ordinalni broj skupa[]

Neka je $A$ dobro uredjen skup. Klasu dobro uredjenih skupova koji su slicni sa A nazivamo ordinalni broj , oznaka $ord(A)$ .

Aksioma izbora (Zemerlov aksiom)

Ako je $S$ dati skup tada iz svakog nepraznog podskupa skupa $S$ mozemo izabrati jedan element, tj postoji barem jedna funkcija koja svakom nepraznom skupu $X$ podskup $S$ pridruzuje jedan element $x \in X$

Za svaki beskonacan kardinalni broj a vrijedi $a^2 = a$ Za svaka dva skupa $A$ i $B$ važi $k(A)=k(B)$ ili $k(A)<k(B)$ ; $k(A)=k(B$ ) ili $k(A)>k(B)$

Zornova(Cornova) lema

Ako je $A$ parcijalno uredjen skup u kome svaki potpuno uredjen podskup ima gornju granicu sadrzi bar jedan maksimalni element.

Paradoksi u teoriji skupova

Cantorov paradoks[]

Uznimo da je $S$ skup svih skupova. Tada je svaki podskup od $S$ ujedno i clan od S. Dakle, i partitivni skup od $S$ je podskup od $S$ .

$P(S)$ podskup od $S$ $kP(S)<k(S$ ) i $kP(S)=k(S)$ Medjutim prema Cantorovom teoremu je $kP(S)>k(S)$

Russellov paradoks[]

Neka je $S$ skup svih skupova koji ne sadrze sebe kao element. Postavlja se pitanje pripada li skup $S$ sam sebi.

Primjer:

U nekom selu postoji brijac koji brije one i samo one ljude koji se sami ne briju. Ko brije brijaca?

Naime, ako neko drugi brije brijaca, onda on ne brije one i samo one ljude koji se sami ne briju (jer ne brije sebe). Ako, pak, brijac brije samog sebe, onda on ne brije one i samo one koji sami sebe ne briju (jer, opet, ne brije sebe).