Skup je osnovni pojam moderne matematike.

Neformalno, pod skupom se podrazumijeva svaka vrsta kolekcije razlicitih predmeta (Georg Cantor. Na pojmu skupa stoji danasnja matematika, jer upravo taj pojam se uzima, zajedno s logikom prvog reda, za gradnju matematike na aksiomama.Skup mozemo zadati njegovim elementima (clanovima) konacnim ili beskonacnim:

,

Cesto skup zadajemo i pomocu nekog pravila:

.

Neke skupove oznacavamo uvijek istim slovima

  • N prirodni brojevi
  • R realni brojevi
  • Q racionalni brojevi...

Skup koji nema ni jedan element naziva se prazni skup.

Jednacina u skupu nema rjesenja.

Operacije sa skupovima[uredi | uredi izvor]

Presjek skupova[uredi | uredi izvor]

Presjek ili zajednicki dio dva skupa je skup koji cine elementi koji su u skupu i u skupu . Označavamo ga sa

Za relaciju presjek vazi zakon komutacije

Za bilo bi

Dvije paralelne prave su disjunktne. Za skupove A i B kazemo da su disjunkti ako i samo ako je njihov presjek prazan skup.

Unija skupova[uredi | uredi izvor]

Unija skupova i je skup koji cine svi elementi koji pripadaju barem jednom od skupova i . Oznacavamo ga sa .

Za relaciju unija vrijedi zakon komutacije

Za relacije unije i presjeka vaze relacije (zakon asocijacije)

(zakon distribucije)

Podskup[uredi | uredi izvor]

Za skup kazemo da je podskup skupa ako i samo ako je svaki element iz ujedno i element iz ili. Oznacavamo ga sa

Skup kome je podskup zove se nadskup skupa . Ako je podskup od i ako ima bar jedan element koji nije u kazemo da je pravi podskup od . Svaki podskup mozemo shvatiti kao njegov nepravi podskup . za svaki skup vrijedi

tj je podskup svakog skupa. Skupovi i su neuporedivi u odnosu na relaciju podskup ako nije , a niti

Prazan skup[uredi | uredi izvor]

Prazan skup skup koji nema nijednog elementa i on je podskup svakog skupa.

Jednaki skupovi[uredi | uredi izvor]

Za skupove i kazemo da su jednaki i pisemo onda i samo onda ako su elementi skupa i elementi skupa i obrnuto ako su elementi skupa elementi skupa .

Razlika (diferencija) skupova[uredi | uredi izvor]

Ako su i skupovi tada skup svih elemenata skupa koji nisu u nazivamo razlika skupova i i pisimo

Simetricna razlika skupova[uredi | uredi izvor]

Simetricna razlika skupova i je skup koji sadrzi sve elemetnte skupova i i pisemo

Komplement skupova[uredi | uredi izvor]

Neka je . Komplement skupa u odnosu na skup je skup svih elemenata iz koji ne pripadaju skupu . Pisemo:

Partitivni skup[uredi | uredi izvor]

Neka je proizvoljni skup. Skup svih podskupova skupa nazivamo partitivni skup skupa . Pisemo:

Kartezijev (direktni) proizvod skupova[uredi | uredi izvor]

Ako su i skupovi skup svih parova kod kojih je i oznac avamo sa nazivamo kartezijev ili direktni proizvod skupova A i B.Konacni i beskonacni skupovi Za skup kazemo da je ekvivalentan skupu ako i samo ako postoji bijekcija sa na .

Za relaciju ekvivalencije skupova vrijede sljedece osobone:

  • Refleksivnost

za

  • Simetričnost

  • Tranzitivnost

Neke osobine skupova

  1. Svaki skup moze se preslikati na svoj pravi podskup.
  2. Svaki skup koji se moze preslikati na svoj pravi podskup je beskonacan.
  3. Skup je konacan ako i samo ako se moze preslikati na svoj pravi podskup.

Ako su ,, skupovi sa osobinom ; i je ekvivalentan sa onda je ekvivalentan sa .

Kardinalni broj skupa[uredi | uredi izvor]

Ekvivalentni skupovi se još zovu i istobrojni. Umjesto

pisemo – kardinalni broj skupa jednak je kardinalnom broju skupa .

Cantorova teorema

Za svaki skup vrijedi gdje je partitivni skup skupa . Kardinalni brojevi koji nisu konacni su transfinitni.

Korolar

Ne posatoji najveci transfinitni kardinalni broj

G Cantor je postavio hipotezu da izmedju brojeva i nama nijednog kardinalnog broja. To je hipoteza kontinuuma.

Ovu hipotezu su nastojali dokazati ili opovrgnuti mnogi matematicari pa i sam Cantor (osnivac teorije skupova). Ovaj problem je ostao nerijesen sve do 1963.god. kada je Amerikanac P Cohen(Koen) dokazao da ova hipoteza ne zavisi od ostalih aksioma teorije skupova. Isto kao što i V postulat Euklidove geometrije ne zavisi od ostalih aksioma.

Teorema

Ako su skupovi i prebrojivi onda je prebrojiv i skup

Teorema

Ako su skupovi i prebrojivi onda je prebrojiv i skup

Teorema o ekvivalenciji

Ako je skup ekvivalentan sa podskupom skupa i ekvivalentan sa podskupom skupa onda su skupovi i ekvivalentni tj.

Ako je skup konacan ,a beskonacan onda je

Ordinalni broj skupa[uredi | uredi izvor]

Neka je dobro uredjen skup. Klasu dobro uredjenih skupova koji su slicni sa A nazivamo ordinalni broj , oznaka .

Aksioma izbora (Zemerlov aksiom)

Ako je dati skup tada iz svakog nepraznog podskupa skupa mozemo izabrati jedan element, tj postoji barem jedna funkcija koja svakom nepraznom skupu podskup pridruzuje jedan element

Za svaki beskonacan kardinalni broj a vrijedi Za svaka dva skupa i važi ili  ; ) ili

Zornova(Cornova) lema

Ako je parcijalno uredjen skup u kome svaki potpuno uredjen podskup ima gornju granicu sadrzi bar jedan maksimalni element.

Paradoksi u teoriji skupova

Cantorov paradoks[uredi | uredi izvor]

Uznimo da je skup svih skupova. Tada je svaki podskup od ujedno i clan od S. Dakle, i partitivni skup od je podskup od .

podskup od ) i Medjutim prema Cantorovom teoremu je

Russellov paradoks[uredi | uredi izvor]

Neka je skup svih skupova koji ne sadrze sebe kao element. Postavlja se pitanje pripada li skup sam sebi.

Primjer:

U nekom selu postoji brijac koji brije one i samo one ljude koji se sami ne briju. Ko brije brijaca?

Naime, ako neko drugi brije brijaca, onda on ne brije one i samo one ljude koji se sami ne briju (jer ne brije sebe). Ako, pak, brijac brije samog sebe, onda on ne brije one i samo one koji sami sebe ne briju (jer, opet, ne brije sebe).

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.