Skalarni proizvod dva vektora je definiran kao proizvod dužine prvog i drugog vektora i kosinusa ugla između njih. Dobiveni je rezultat skalar .
a
→
⋅
b
→
=
b
→
⋅
a
→
=
|
a
→
|
|
b
→
|
cos
ϕ
{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}=\left|{\vec {a}}\right|\left|{\vec {b}}\right|\cos \phi }
Skalarni proizvod vektora sa samim sobom daje kvadrat njegove dužine, jer je u tom slučaju kosinus 0° jednak 1 . Skalarni proizvod vektora koji su pod pravim uglom (90° ) jednak je 0 , jer je kosinus pravog ugla 0 .
Skalarni proizvod je komutativan , distributivan i linearan .
Definicija i primjer [ ] Definicija skalarnog proizvoda vektora a = [a 1 , a 2 , … , a n b = [b 1 , b 2 , … , b n
a
⋅
b
=
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
=
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
⋯
+
a
n
b
n
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}
gdje Σ označava sabiranje po komponentama. Primjer skalarnog množenja na trodimenzionalnom vektoru [1, 3, −5] i [4, −2, −1] :
[
1
3
−
5
]
⋅
[
4
−
2
−
1
]
=
(
1
)
(
4
)
+
(
3
)
(
−
2
)
+
(
−
5
)
(
−
1
)
=
3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix}}=(1)(4)+(3)(-2)+(-5)(-1)=3.}
Za dva kompleksna kolonska vektora, skalarni proizvod je definisan kao
a
⋅
b
=
∑
b
i
¯
a
i
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum {{\overline {b_{i}}}a_{i}}}
gdje je
b
i
¯
{\displaystyle {\overline {b_{i}}}}
konjugovano kompleksan broj od
b
i
{\displaystyle b_i}
a
⋅
b
=
b
⋅
a
¯
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\overline {\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }}}
Skalarni proizvod primjenljuje se na vektore iz ortonormalnih vektorskih prostora . Njegova generalizacija na neortonormalne vektorske prostore opisana je ispod .
Geometrijska interpretacija [ ] S obzirom da znamo da je skalarni umnožak i umnožak sa uglom između dva vektora, možemo inverznom operacijom izračunati i ugao.
a
⋅
b
=
|
a
|
|
b
|
cos
θ
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta \,}
⟹
{\displaystyle \Longrightarrow}
θ
=
arccos
(
a
⋅
b
|
a
|
|
b
|
)
.
{\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {{\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {b}}}{|{\mathbf {a}}||{\mathbf {b}}|}}\right).}
Dokaz geometrijske intepretacije [ ] Razmotrimo vektor
v
=
v
1
i
+
v
2
j
+
v
3
k
.
{\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k} .\,}
Uzastopnom upotrebom Pitagorinog teorema dobijamo njegovu dužinu v
v
2
=
v
1
2
+
v
2
2
+
v
3
2
.
{\displaystyle v^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}.\,}
Dobijeno je isto kao i
v
⋅
v
=
v
1
2
+
v
2
2
+
v
3
2
,
{\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2},\,}
tako da zaključujemo da ćemo, ako skalarno pomnožimo vektor v sa samim sobom, dobiti njegovu dužinu na kvadrat.
Lema 1
v
⋅
v
=
v
2
.
{\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =v^{2}.\,}
Sada razmatrajmo dva vektora a i b koji potiču iz istog ishodišta, a koje odvaja ugao θ. Treće vektor c može se definisati kao
c
=
d
e
f
a
−
b
.
{\displaystyle \mathbf {c} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {a} -\mathbf {b} .\,}
tvoreći trougao sa stranicama a , b i c . Prema kosinusnom teoremu , imamo da je
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
θ
.
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta .\,}
Zamjenom skalarnog proizvoda za kvadrat dužine prema lemi 1, dobijamo
c
⋅
c
=
a
⋅
a
+
b
⋅
b
−
2
a
b
cos
θ
.
{\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2ab\cos \theta .\,}
(1) Ali pošto je c ≡ a − b , također imamo da je
c
⋅
c
=
(
a
−
b
)
⋅
(
a
−
b
)
{\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =(\mathbf {a} -\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} )\,}
što je, prema pravilu distributivnosti , prošireno na
c
⋅
c
=
a
⋅
a
+
b
⋅
b
−
2
(
a
⋅
b
)
.
{\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).\,}
(2) Izjednačavanjem dvije c • c jednačine, (1) i (2) , dobijamo
a
⋅
a
+
b
⋅
b
−
2
(
a
⋅
b
)
=
a
⋅
a
+
b
⋅
b
−
2
a
b
cos
θ
.
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2ab\cos \theta .\,}
Oduzimanjem a • a + b • b sa obje strane i dijeljenjem sa −2 ostavlja nam
a
⋅
b
=
a
b
cos
θ
.
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos \theta .\,}
Dokaz kosinusne teoreme [ ] Kako je
c
=
a
−
b
{\displaystyle c=a-b}
c
⋅
c
=
(
a
−
b
)
⋅
(
a
−
b
)
{\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =(\mathbf {a} -\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} )}
=
a
⋅
a
−
a
⋅
b
−
b
⋅
a
+
b
⋅
b
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
=
{\displaystyle =\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} -\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} -\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{2}+\mathbf {b} ^{2}-2ab=}
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
θ
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta }
Trostruki proizvod [ ]
a
×
(
b
×
c
)
=
b
(
a
⋅
c
)
−
c
(
a
⋅
b
)
,
{\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ),}
Ova formula pronalazi primjenu u pojednostavljenju vektorskih proračuna u fizici
Projekcija vektora na vektor [ ] Pomoću skalarnog proizvoda može se izračunati projekcija vektora na vektor tj.
a
→
b
0
→
=∣
a
→
∣
c
o
s
ω
=
a
b
→
{\displaystyle \overrightarrow{a}\overrightarrow{b_0}= \mid \overrightarrow{a}\mid \ cos \omega = \overrightarrow{a_b}}
a
→
{\displaystyle \overrightarrow{a}}
b
→
{\displaystyle \overrightarrow{b}}
a
→
b
0
→
=∣
a
→
∣
c
o
s
ω
=
b
a
→
{\displaystyle \overrightarrow{a}\overrightarrow{b_0}= \mid \overrightarrow{a}\mid \ cos \omega = \overrightarrow{b_a}}
b
→
{\displaystyle \overrightarrow{b}}
a
→
{\displaystyle \overrightarrow{a}}
(
a
→
b
0
→
)
∗
b
0
→
=
a
b
b
0
→
{\displaystyle (\overrightarrow{a}\overrightarrow{b_0})*\overrightarrow{b_0}=a_b\overrightarrow{b_0}}
a
→
{\displaystyle \overrightarrow{a}}
b
→
{\displaystyle \overrightarrow{b}}
(
a
0
→
b
→
)
∗
a
0
→
=
b
a
a
0
→
{\displaystyle (\overrightarrow{a_0}\overrightarrow{b})*\overrightarrow{a_0}=b_a\overrightarrow{a_0}}
b
→
{\displaystyle \overrightarrow{b}}
a
→
{\displaystyle \overrightarrow{a}}
Posljedice skalarnog množenja [ ]
a
→
⋅
b
→
=
0
⇒
a
→
⊥
b
→
{\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{b}}
a
→
a
→
=∣
a
→
∣∣
a
→
∣
cos
0
=∣
a
→
∣
2
=>∣
a
→
∣
a
→
a
→
{\displaystyle \overrightarrow{a} \overrightarrow{a} = \mid \overrightarrow{a} \mid \mid \overrightarrow{a}\mid \cos \ 0 =\mid \overrightarrow{a} \mid ^2 =>\mid \overrightarrow{a} \mid \sqrt{\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}}}
a
→
⊥
b
→
=>
a
→
b
→
=
0
{\displaystyle \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} => \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0}
a
→
b
→
=
0
=>
a
→
⊥
b
→
{\displaystyle \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0 =>\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}}
0
→
{\displaystyle \overrightarrow{0}}
c
o
s
ω
=
a
→
b
→
∣
a
→
∣∣
a
→
∣
{\displaystyle cos \omega =\frac{\overrightarrow{a} \overrightarrow{b}}{\mid \overrightarrow{a} \mid \mid \overrightarrow{a} \mid}}
0
<
ω
<
π
{\displaystyle 0< \omega < \pi}
Osobine skalarnog proizvoda [ ]
a
→
a
→
≥
0
a
→
a
→
=
0
<=>
a
→
=
0
→
{\displaystyle \overrightarrow{a}\overrightarrow{a}\ge 0 \ \overrightarrow{a}\overrightarrow{a}= 0 <=> \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}}
λ
(
a
→
b
→
)
=
(
λ
a
→
)
b
→
)
=
a
→
(
λ
b
→
)
{\displaystyle \lambda( \overrightarrow{a}\overrightarrow{b})= (\lambda \overrightarrow{a})\overrightarrow{b})= \overrightarrow{a}(\lambda \overrightarrow{b})}
a
→
(
b
→
+
c
→
)
=
a
→
b
→
+
a
→
c
→
{\displaystyle \overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})= \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}}
Izvori [ ] Također pogledajte [ ]
