Sinus

Eementarna definicija funkcije za vrijednosti argumenta $x$ iz intervala $(0, 90^o)$ , odnosno $(0, \pi/2)$ .

Sinus je odnos suprotne stranice uglu i hipotenuze pravouglog trougla

$sin x = a/c$

Vrijednosti tih funkcija zavise samo o uglu, a ne o duzini stranica trougla. Zbog slicnosti trougla je $a : b : c = a': b' : c'$ ).

Opsta definicija trigonometrijskih funkcija za sve vrijednosti argumenta $x$ iz intervala $0 \le x \le 2\pi$ temelji se na trigonometrijskoj kruznici( jedinicnoj kruznici sa sredistem u koordinantnom pocetku pravouglog koordinantnog sistema na kojoj je pozitivan smjer obilazenja suprotan okretanju kazaljke na satu. Ako je T bilo koja tacka trigonometrijske kruznice, a $x$ radijanska mjera (radijan) ugla $\angle AOT$ , koja je jednaka duzini luka $AT$ , tada je $sin x$ ordinata, a $cos x$ apscisa tacke T, tj. $T (cos x, sin x)$ . Za proizvoljne argumente definicija se prosiruju zahtjevom

$sin (x+ 2 k\pi) = sin x$ Sinus je periodicna funkcija sa periodom $2\pi$

Iz definicije je jasno da sinus moze poprimiti vrijednosti između -1 i 1, te da je definisan za sve realne brojeve.

$\sin\colon \mathbb{R} \to [-1,1]$

Inverzna funkcija[]

Funkcija sinus nije bijekcija, ugao $\alpha$ i ugao $\alpha+2\pi$ (ugao koji dobijemo kada uglu $\alpha$ dodamo puni krug) daju istu vrijednost za sinus i za kosinus, pa funkcija nije injekcija. Uopsteno ne postoji inverz fukcije sinus. Ako se posmatra suzenje podrucja definicije (restrikcija) funkcije sinus, tj. ako funkciju sinus promotrimo samo na jednom dijelu podrucja njene definicije, tada sinus postaje bijekcija, a odgovarajuću inverznu funkciju nazivamo arkus sinus. Oznacavamo ga sa $arccsin x$ . Restrikcija funkcije sinus na kojoj je to moguce izvesti je restrikcija na tzv. glavnu granu, odnosno na funkciju

$\sin\colon [-\pi /2, \pi /2] \to [-1,1]$

$\theta = \arcsin \left( \frac{\text{suprotna stranica}}{\text{hipotenuza}} \right) = \sin^{-1} \left( \frac {a}{h} \right).$

${\displaystyle \begin{align} \sin(y) = x \ \Leftrightarrow\ & y = \arcsin x + 2\pi k , \text{ or }\\ & y = \pi - \arcsin(x) + 2\pi k \end{align}}$

$\sin(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = (-1)^k \arcsin(x) + \pi k$

$\sin(\arcsin(x)) = x\!$

$\arcsin(\sin(\theta)) = \theta\quad\text{for }-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}.$

Derivacija i integral funkcije[]

$f(x) = \sin(x) \,$

$f'(\sin(x)) = \cos(x) \,$

Red funkcije[]

Uopsteo se trigonometrijske funkcije mogu razviti u redove potencija.

${\displaystyle \sin^{(4n+k)}(0)=\begin{cases} 0 & \text{when } k=0 \\ 1 & \text{when } k=1 \\ 0 & \text{when } k=2 \\ -1 & \text{when } k=3 \end{cases}}$

${\displaystyle \begin{align} \sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\[8pt] & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \\[8pt] \end{align} }$

koji konvergiraju za sve realne i kompleksne brojeve $x$

${\displaystyle \begin{align} \sin x_\mathrm{deg} & = \sin y_\mathrm{rad} \\ & = \frac{\pi}{180} x - \left (\frac{\pi}{180} \right )^3\ \frac{x^3}{3!} + \left (\frac{\pi}{180} \right )^5\ \frac{x^5}{5!} - \left (\frac{\pi}{180} \right )^7\ \frac{x^7}{7!} + \cdots . \end{align}}$

${\displaystyle \begin{align} \sin 0 = 0 & \text{ and } \sin{2x} = 2 \sin x \cos x \\ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 & \text{ and } \cos{2x} = \cos^2 x - \sin^2 x \\ \end{align} }$

${\displaystyle \sin x \approx x \text{ when } x \approx 0. }$

Identiteti adicijski teorem:

$sin (x \ y) = sin x cos y \pm cos x sin y$

Specijalnih slucaj

$sin (x \pm \pi) = - sin x$

${\displaystyle sin (x \pm \pi /2) = \pm cos x }$

$sin 2 x = 2 sin x cos x$

$sin 3x = 3 cos^2x sin x - sin^ 3 x$

$sin(-x) = - sin x$ sinus je neparna funkcija.

$2 sin^2 x/2 = 1 - cos x$

$sin x + sin y = 2 sin \frac{x+y}{2} cos \frac{x-y}{2}$

$sin x - sin y = 2 cos \frac{x+y}{2} sin \frac{x-y}{2}$ $dsin xdx = cos x$

Jos je L. Euler znao za vezu $e^ix = cos x + i sin x$ , gdje je i imaginarna jedinica, preko koje su sinus i kosinus vezani s hiperbolickim funkcijama

$cos ix = ch x$

$sin ix = i sh x$

$\sin(x)=\frac{e^{xi}-e^{-xi}}{2i}$ .

Osobine funkcije po kvadrantima[]

Kvadrant	Stepeni	Radian	Vrijednost	Predznak	Monotonost
I kvadrant	$0^\circ<x<90^\circ$	$0<x< \frac{\pi}{2}$	$0<\sin(x)<1$	$+$	raste
II kvadrant	$90^\circ<x<180^\circ$	$\frac{\pi}{2}<x<\pi$	$0<\sin(x)<1$	$+$	opada
III kvadrant	$180^\circ<x<270^\circ$	$\pi<x<\frac{3\pi}{2}$	$-1<\sin(x)<0$	$-$	opada
IV kvadrant	$270^\circ<x<360^\circ$	$\frac{3\pi}{2}<x<2\pi$	$-1<\sin(x)<0$	$-$	raste

Vrijednosti fukkcije sinusa za neke velicine ugla[]

Stepeni	Radian $0 \le x < 2\pi$	Radian	$\sin(x)$
$0^{\circ}$	$0$	$2\pi k$	$0$
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$	$2\pi k + \frac{\pi}{2}$	$1$
$180^{\circ}$	$\pi$	$2\pi k - \pi$	$0$
$270^{\circ}$	$\frac{3\pi}{2}$	$2\pi k - \frac{\pi}{2}$	$-1$

Specijalne vrijednosti sinusa[]

$\sin\frac{\pi}{60}=\sin 3^\circ=\frac{(2-\sqrt{12})\sqrt{5+\sqrt5}+(\sqrt{10}-\sqrt2)(\sqrt3+1)}{16}\,$

$\sin\frac{\pi}{30}=\sin 6^\circ=\frac{\sqrt{30-\sqrt{180}}-\sqrt5-1}{8}\,$

$\sin\frac{\pi}{20}=\sin 9^\circ=\frac{\sqrt{10}+\sqrt2-\sqrt{20-\sqrt{80}}}{8}\,$

$\sin\frac{\pi}{15}=\sin 12^\circ=\frac{\sqrt{10+\sqrt{20}}+\sqrt{3}-\sqrt{15}}{8}\,$

$\sin\frac{\pi}{10}=\sin 18^\circ=\frac{\sqrt5-1}{4}=\tfrac{1}{2}\varphi^{-1}\,$

$\sin\frac{7\pi}{60}=\sin 21^\circ=\frac{(2+\sqrt{12})\sqrt{5-\sqrt5}-(\sqrt{10}+\sqrt2)(\sqrt3-1)}{16}\,$

$\sin\frac{\pi}{8}=\sin 22.5^\circ=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2},$

$\sin\frac{2\pi}{15}=\sin 24^\circ=\frac{\sqrt3+\sqrt{15}-\sqrt{10-\sqrt{20}}}{8}\,$ $\sin\frac{3\pi}{20}=\sin 27^\circ=\frac{\sqrt{20+\sqrt{80}}-\sqrt{10}+\sqrt2}{8}\,$