Sabiranje

Sabiranje je osnovna aritmetička operacija, kojom saznajemo informaciju kad dvije ili više veličina (brojeva) skupimo zajedno, koliko ih ukupno ima. Sabrati možemo jabuke, kruške, lubenice (sve su to cijeli brojevi), ali i tečnost usutu ili izlivenu iz spremnika, težine razne hrane i neprehrambenih artikala (decimalni brojevi). Matematički sabiranje predstavljamo znakom plus +,

npr. :

$1+2=3$.

Brojeve koje sabiremo nazivamo sabirci.

Sabiranje je komutativno, što znači da je :

$1+2=2+1$ ,

tj. možemo slobodno zamijeniti mjesta sabircima, a rezultat sabiranja se neće promjeniti.

Sabiranje je i asocijativno, jer vrijedi :

$(1+2)+3=1+(2+3)$

Kod sabiranja članova nekog niza koristi se veliko grčko slovo sigma:

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\dots +x_{n-1}+x_{n},$

što znači da sabiremo prvih n članova niza, od $x_1$ do $x_n$. Broj je apstraktni pojam koji koristimo za opis količina. Bez brojeva ne bi bilo matematike.

Notacija i terminologija

Sabiranje se zapisuje znakom plus "+" koji se stavlja između dva člana koji se sabiru. Rezultat se izražava sa znakom jednakosti.

Na primjer

$1+1=2$ (verbalno, "jedan plus jedan jednako je dva")

$2 + 2 = 4$ (verbalno, "dva plus dva jednako je četiri")

$5 + 4 + 2 = 11$ (pogledajte "asocijativnost" )

$3 + 3 + 3 + 3 = 12$ (pogledajte "množenje" )

Zbir uzastopnih prirodnih brojeva možemo zapisati kao

$\sum _{k=1}^{5}k=1+2+3+4+5=15.$

Cio broj iza koga slijedi razlomak naziva se mješoviti broj

$3{\frac {1}{2}}=3+{\frac {1}{2}}=3,5$

Tablica sabiranja

1+	2+	3+	4+	5+	6+	7+	8+	9+	10+
1 + 0 = 1	2 + 0 = 2	3 + 0 = 3	4 + 0 = 4	5 + 0 = 5	6 + 0 = 6	7 + 0 = 7	8 + 0 = 8	9 + 0 = 9	10 + 0 = 10
1 + 1 = 2	2 + 1 = 3	3 + 1 = 4	4 + 1 = 5	5 + 1 = 6	6 + 1 = 7	7 + 1 = 8	8 + 1 = 9	9 + 1 = 10	10 + 1 = 11
1 + 2 = 3	2 + 2 = 4	3 + 2 = 5	4 + 2 = 6	5 + 2 = 7	6 + 2 = 8	7 + 2 = 9	8 + 2 = 10	9 + 2 = 11	10 + 2 = 12
1 + 3 = 4	2 + 3 = 5	3 + 3 = 6	4 + 3 = 7	5 + 3 = 8	6 + 3 = 9	7 + 3 = 10	8 + 3 = 11	9 + 3 = 12	10 + 3 = 13
1 + 4 = 5	2 + 4 = 6	3 + 4 = 7	4 + 4 = 8	5 + 4 = 9	6 + 4 = 10	7 + 4 = 11	8 + 4 = 12	9 + 4 = 13	10 + 4 = 14
1 + 5 = 6	2 + 5 = 7	3 + 5 = 8	4 + 5 = 9	5 + 5 = 10	6 + 5 = 11	7 + 5 = 12	8 + 5 = 13	9 + 5 = 14	10 + 5 = 15
1 + 6 = 7	2 + 6 = 8	3 + 6 = 9	4 + 6 = 10	5 + 6 = 11	6 + 6 = 12	7 + 6 = 13	8 + 6 = 14	9 + 6 = 15	10 + 6 = 16
1 + 7 = 8	2 + 7 = 9	3 + 7 = 10	4 + 7 = 11	5 + 7 = 12	6 + 7 = 13	7 + 7 = 14	8 + 7 = 15	9 + 7 = 16	10 + 7 = 17
1 + 8 = 9	2 + 8 = 10	3 + 8 = 11	4 + 8 = 12	5 + 8 = 13	6 + 8 = 14	7 + 8 = 15	8 + 8 = 16	9 + 8 = 17	10 + 8 = 18
1 + 9 = 10	2 + 9 = 11	3 + 9 = 12	4 + 9 = 13	5 + 9 = 14	6 + 9 = 15	7 + 9 = 16	8 + 9 = 17	9 + 9 = 18	10 + 9 = 19
1+10=11	2+10=12	3+10=13	4+10=14	5+10=15	6+10=16	7+10=17	8+10=18	9+10=19	10+10=20

Na ovom primjeru imamo 100 slučajeva. Večina zapamti sve ove slučajeve

Osobina komutacije a+b=b+a svodi ovih 100 slučajeva na 55.

Dodavanje brojeva 1 ili 2 svodi se na brojanje.

Kako je 0 neutralni element, njeno dodavanje je trivijalno.

Dodavanje jednakog broja prvom broju je dupliranje, Svodi se na množenje a+a=2a

Približno dupliranje svodi se na

$6+7=6+6+1=13$ ili

$6+7=7+7-1=13$

Ovaj primjer može se svesti na drugi slučaj

$6+7=5+7+1$ (dodavanje još jednog)

Korištenjem broja 10

$6+7=6+4+3=10+3=13$

Osobine

Komutativnost

4+2=2+4

Sabiranje je komutativno, što znali da članovi, koji se sabiru, mogu, međusobno, zamijeniti mjesta, a da rezultat ostane nepromjenjen. Simbolički, ako su a i b dva broja, tada vrijedi

$a + b = b + a$

1+2=3=2+1

Asocijativnost

2(1+3)=(2+1)+3

Još jedna osobina sabiranja je asocijativnost, koju dobijamo kada pokušamo definisati uzastopno sabiranje više članova zbira. Da li bi izraz

$a+b+c$

trebao biti definisan kao

$(a+b)+c$ ili :$a+(b+c)$

Činjenica da je sabiranje asocijativno govori nam da je odabir definicije nebitan. Za bilo koja tri broja a, b i c, važi da je

$(a+b)+c=a+(b+c)$

Na primjer

$(1+2)+3=3+3=6=1+5=1+(2+3)$ .

Nisu svi operatori asocijativni, tako da u izrazima sa ostalim operatorima, kao sto je dijeljenje, važno je naznačiti redoslijed operacija.

Neutralni elemenat

5+0=5

Postoji jedan realan broj koji ako se sabere sa bilo kojim realnim brojem daje taj isti realan broj, tj. njegovo dodavanje na neki broj ne utice na taj broj. Taj realni broj naziva se neutralni, i kod sabiranja realnih brojeva se obično predstavlja simbolom $0$ i zove „nula“:

$\exists 0\in R,\forall x\in R,x+0=0+x=x$

Inverzni elemenat

Za svaki uzeti realni broj, postoji njemu suprotan, označen sa znakom minus, koji kad se sabere sa tim brojem daje nulu; takav suprotni broj nekog broja naziva se njegovim inverznim elementom.

$\forall x\in R,\exists {-x},x+(-x)=0$

Uopšteno govoreći, sabiranje ne mora zadovoljavati sve navedene osobine za sve skupove nad kojim je definisano.

Dodavanje brojeva

Postoje dva načina za određivanje sume dva prirodna broja a i b. Ako prirodne brojeve određuje kardinalnost konačan broj elemenata akupa, onda je poželjno da se definiše kao zbir:

Neka N (S) - kardinalnost skupa S. Uzmimo dva disjunktna ​​skupa A i B ineka je $N(A)=a$ i $N(B)=b$. Onda $A + B$ definišimo kao kao: $N(A \cup B)$

Dobijemo novi skup A + B koji sadrži zbir svakog elementa iz A sa svakim elementom iz B:^[6]

U skupu prirodnih brojeva, sabiranjem broja n i 1  dobijemo najmanji prirodni broj veći od n, tzv. sljedbenik broja n. Označimo ga sa  n⁺ .

0⁺=1, 1⁺=2.odbosno  a + (b⁺) = (a + b)⁺.

1 + 1 = 1 + 0⁺ = (1 + 0)⁺ = 1⁺ = 2.

Na primjer, sljedbenik broja 6 je 7. Sljedbenik sljedbenika broja n jednak je n + 2. Uopšteno  k-ti po redu sljedbenik broja n jednak je n + k.

Želimo li sabrati fizičke veličine, moramo ih izraziti pomoću istih mjernih jedinica.

Na primjer,

2 litre vode i 5 decilitara vode možemo zapisati kao

20 dl+ 5 dl = 25 dl vode, ili

2 l + 0,5 l = 2,5 l

Fizičke veličine različitih vrsta poput krušaka i jabuka ne možemo sabrati jer ih ne možemo svesti na iste mjerne jedinice. Ali im možemo sabrati masu

Pisano sabiranje

Brojeve u bazi n sabiremo zapisujući ih jedan ispod drugog tako da im se dekadske jedinice podudaraju. Ispod njih povučemo crtu. Zatim sdesna nalijevo sabiremo stupac po stupac i zbir pišemo na odgovarajuće mjesto.

Primjer u bazi 10:

T	S	D	J	,	d	s
	1	0	7	,	9	8
		2	5
+	9	3	8	,	2
1	0	7	1	,	1	8

1
2	7
5	9
8	6

7+9=16. 1 prenosimo u deugu kolonuPrimjer u bazi 2:

	1	1	1	1	1
		0	1	1	0	1
+		1	0	1	1	1
	1	0	0	1	0	0	=	36

Sabiremo 01101₂ (13₁₀) i 10111₂ (23₁₀).

1 + 1 = 10₂.

1 + 0 + 1 = 10₂

1 + 1 + 1 = 11₂.

100100₂ (36₁₀).

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, (1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2¹))

5 + 5 → 0, ( 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10¹))

7 + 9 → 6, (since 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10¹))

Sabiranje razlomaka

Prilikom sabiranja, razlomci se svode na najmanji zajednički imenilac. On je najmanji zajednički sadržalac imenilaca tih razlomaka. Nakon svođenja na zajednički imenilac brojioce saberemo.

${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}={\frac {1\times 3}{4\times 3}}+{\frac {1\times 4}{3\times 4}}={\frac {3}{12}}+{\frac {4}{12}}={\frac {7}{12}}.$

Ako sabiremo razlomak i cijeli broj, cijeli broj možemo pisati kao razlomak sa imeniocem 1 te normalno svodimo razlomke na zajednički imenilack te ihsaberemo

${\frac {3}{4}}+2={\frac {3}{4}}+{\frac {2}{1}}={\frac {3}{4}}+{\frac {8}{4}}={\frac {11}{4}}=2{\frac {3}{4}}$

Red

Red je niz članova beskonačnog niza.

$\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\dots ,$