Rotacione površi su jedna od jednostavnijih netrivijalnih klasa površi.To su:
sfera torus paraboloid Mnogi objekti iz svakodnevnog života, kao što su konzerve i noge namještaja su rotacione površi.
Definicija rotacione površi [ ] Rotacione površi nastaju obrtanjem (rotacijom) ravne krive oko prave u
R
3
{\displaystyle R^3}
Definicija
Neka je
π
{\displaystyle \pi }
R
3
{\displaystyle R^3}
a
{\displaystyle a}
π
{\displaystyle \pi }
C
{\displaystyle C}
π
{\displaystyle \pi }
C
{\displaystyle C}
π
{\displaystyle \pi }
a
{\displaystyle a}
M
{\displaystyle M}
C
{\displaystyle C}
C
{\displaystyle C}
M
{\displaystyle M}
a
{\displaystyle a}
M
{\displaystyle M}
Definicija
Preslikavanje
f
[
a
]
:
[
0
,
2
π
]
→
R
3
{\displaystyle f{\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}:[0,2\pi ]\to R^{3}}
f
[
a
]
(
u
,
v
)
=
(
φ
(
v
)
c
o
s
u
,
φ
(
v
)
s
i
n
u
,
ψ
(
v
)
)
{\displaystyle f{\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}(u,v)=(\varphi (v)cosu,\varphi (v)sinu,\psi (v))}
naziva se standardna parametrizacija rotacione površi
M
{\displaystyle M}
Krivina rotacione površi [ ] Prvo računamo koeficiente prve i druge kvadratne forme, a onda i jediničnu normalu opšte rotacione površi.
Lema
Neka je M rotacotaciona površ sa profilnom krivom
a
=
(
φ
,
ψ
)
{\displaystyle a=(\varphi ,\psi )}
r
:
U
→
R
3
{\displaystyle r:U\to R^{3}}
M
{\displaystyle M}
Onda je
E
=
φ
{\displaystyle E=\varphi }
F
=
0
{\displaystyle F = 0}
G
=
φ
′
2
+
ψ
′
2
{\displaystyle G=\varphi '^{2}+\psi '^{2}}
r
{\displaystyle r}
φ
≠
0
{\displaystyle \varphi \neq 0}
φ
′
2
+
ψ
′
2
≠
0
{\displaystyle \varphi '^{2}+\psi '^{2}\neq 0}
Tada je
L
=
∣
φ
∣
ψ
′
φ
′
2
+
ψ
′
2
{\displaystyle L={\frac {\mid \varphi \mid \psi '}{\sqrt {\varphi '^{2}+\psi '^{2}}}}}
M
=
0
{\displaystyle M=0}
L
=
s
i
g
n
(
φ
)
(
φ
″
ψ
′
+
φ
′
ψ
″
)
φ
′
2
+
ψ
′
2
{\displaystyle L={\frac {sign(\varphi )(\varphi ''\psi '+\varphi '\psi '')}{\sqrt {\varphi '^{2}+\psi '^{2}}}}}
a
{\displaystyle a}
v
(
u
,
v
)
=
s
i
g
n
(
φ
)
(
ψ
′
c
o
s
u
,
ψ
′
s
i
n
u
,
φ
′
)
φ
′
2
+
ψ
′
2
{\displaystyle v(u,v)=sign(\varphi ){\frac {(\psi 'cosu,\psi 'sinu,\varphi ')}{\sqrt {\varphi '^{2}+\psi '^{2}}}}}
Dokaz
Prva derivacija je
{
r
u
=
(
−
φ
(
v
)
s
i
n
u
,
φ
(
u
)
c
o
s
u
,
0
)
r
v
=
(
φ
′
(
v
)
c
o
s
u
,
φ
′
(
v
)
s
i
n
u
,
ψ
′
(
v
)
{\displaystyle {\begin{cases}r_{u}=(-\varphi (v)sinu,\varphi (u)cosu,0)\\r_{v}=(\varphi '(v)cosu,\varphi '(v)sinu,\psi '(v)\end{cases}}}
i druga
{
r
u
=
(
−
φ
(
v
)
c
o
s
u
,
−
φ
(
u
)
s
i
n
u
,
0
)
r
v
=
(
−
φ
′
(
v
)
s
i
n
u
,
φ
′
(
v
)
c
o
s
u
,
0
)
r
v
v
=
(
φ
″
(
v
)
c
o
s
u
,
φ
″
(
v
)
s
i
n
u
,
φ
″
(
v
)
s
i
n
u
)
{\displaystyle {\begin{cases}r_{u}=(-\varphi (v)cosu,-\varphi (u)sinu,0)\\r_{v}=(-\varphi '(v)sinu,\varphi '(v)cosu,0)\\r_{vv}=(\varphi ''(v)cosu,\varphi ''(v)sinu,\varphi ''(v)sinu)\end{cases}}}
Nadjemo
L
=
1
q
[
r
u
u
,
r
u
,
r
v
]
{\displaystyle L={\frac {1}{\sqrt {q}}}{\begin{bmatrix}r_{uu},&r_{u},&r_{v}\end{bmatrix}}}
M
=
1
q
[
r
u
v
,
r
u
,
r
v
]
{\displaystyle M={\frac {1}{\sqrt {q}}}{\begin{bmatrix}r_{uv},&r_{u},&r_{v}\end{bmatrix}}}
N
=
1
q
[
r
v
v
,
r
u
,
r
v
]
{\displaystyle N={\frac {1}{\sqrt {q}}}{\begin{bmatrix}r_{vv},&r_{u},&r_{v}\end{bmatrix}}}
za
q
=
E
G
−
F
2
>
0
{\displaystyle q=EG-F^{2}>0}
L
=
|
−
φ
(
v
)
c
o
s
u
φ
(
u
)
s
i
n
u
0
−
φ
′
(
v
)
s
i
n
u
φ
′
(
v
)
c
o
s
u
0
z
v
v
|
E
G
−
F
2
=
−
∣
φ
∣
ψ
′
φ
′
2
+
ψ
′
2
{\displaystyle L={\frac {\begin{vmatrix}-\varphi (v)cosu&\varphi (u)sinu&0\\-\varphi '(v)sinu&\varphi '(v)cosu&0\\z&v&v\end{vmatrix}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}={\frac {-\mid \varphi \mid \psi '}{\sqrt {\varphi '^{2}+\psi '^{2}}}}}
M
=
0
{\displaystyle M=0}
N
=
s
i
g
n
(
φ
)
φ
″
ψ
′
−
φ
′
ψ
″
φ
′
2
+
ψ
′
2
{\displaystyle N=sign(\varphi ){\frac {\varphi ''\psi '-\varphi '\psi ''}{\sqrt {\varphi '^{2}+\psi '^{2}}}}}
v
=
s
i
g
n
(
φ
)
(
ψ
′
c
o
s
u
,
ψ
′
s
i
n
u
,
φ
′
)
φ
′
2
+
ψ
′
2
{\displaystyle v=sign(\varphi ){\frac {(\psi 'cosu,\psi 'sinu,\varphi ')}{\sqrt {\varphi '^{2}+\psi '^{2}}}}}
Glavne krivine rotacione površi parametrizovane standardnom parametrizacijom date su sa
{
K
1
¯
=
s
i
g
n
(
φ
)
φ
″
ψ
′
−
φ
′
ψ
″
(
φ
′
2
+
ψ
′
2
)
3
K
2
¯
=
L
E
=
−
φ
′
φ
′
2
+
ψ
′
2
{\displaystyle {\begin{cases}{\overline {K_{1}}}=sign(\varphi ){\frac {\varphi ''\psi '-\varphi '\psi ''}{{\sqrt {(\varphi '^{2}+\psi '^{2}}})^{3}}}\\{\overline {K_{2}}}={\frac {L}{E}}={\frac {-\varphi '}{\sqrt {\varphi '^{2}+\psi '^{2}}}}\end{cases}}}
Gausova kriva data je sa:
K
G
=
−
ψ
′
2
φ
″
−
φ
′
ψ
′
ψ
″
φ
(
φ
′
2
+
ψ
′
2
)
{\displaystyle K_{G}={\frac {-\psi '^{2}\varphi ''-\varphi '\psi '\psi ''}{\varphi (\varphi '^{2}+\psi '^{2})}}}
K
S
=
φ
(
φ
″
ψ
′
−
φ
′
ψ
″
)
−
ψ
′
(
φ
′
2
+
ψ
′
2
)
)
2
∣
φ
∣
(
φ
′
3
+
ψ
′
2
)
3
/
2
{\displaystyle K_{S}={\frac {\varphi (\varphi ''\psi '-\varphi '\psi '')-\psi '(\varphi '^{2}+\psi '^{2}))}{2\mid \varphi \mid (\varphi '^{3}+\psi '^{2})^{3/2}}}}
Za rotacione površi važi da su krivine
K
G
{\displaystyle K_G}
K
S
{\displaystyle K_{S}}
K
1
¯
{\displaystyle {\overline {K_{1}}}}
K
2
¯
{\displaystyle {\overline {K_{2}}}}
E
{\displaystyle E}
F
{\displaystyle F}
G
{\displaystyle G}
L
{\displaystyle L}
M
{\displaystyle M}
N
{\displaystyle N}
Sve ove funkcije mogu se izraziti preko
φ
{\displaystyle \varphi}
ψ
{\displaystyle \psi}
u
{\displaystyle u}
Neka je
r
{\displaystyle r}
R
3
{\displaystyle R^3}
α
=
(
φ
,
ψ
)
{\displaystyle \alpha =(\varphi ,\psi )}
E
=
φ
2
{\displaystyle E=\varphi ^{2}}
F
=
0
{\displaystyle F = 0}
G
=
1
{\displaystyle G=1}
L
=∣
φ
∣
ψ
′
{\displaystyle L=\mid \varphi \mid \psi '}
M
=
0
{\displaystyle M=0}
N
=
s
i
g
n
(
φ
)
(
φ
″
ψ
′
−
φ
′
ψ
″
)
{\displaystyle N=sign(\varphi )(\varphi ''\psi '-\varphi '\psi '')}
K
1
¯
=
s
i
g
n
(
φ
)
(
φ
″
ψ
′
−
φ
′
ψ
″
)
{\displaystyle {\overline {K_{1}}}=sign(\varphi )(\varphi ''\psi '-\varphi '\psi '')}
K
1
¯
=
−
ψ
′
∣
φ
∣
{\displaystyle {\overline {K_{1}}}={\frac {-\psi '}{\mid \varphi \mid }}}
K
S
=
1
2
s
i
g
n
(
φ
)
(
φ
″
ψ
′
−
φ
′
ψ
″
)
−
−
ψ
′
∣
φ
∣
{\displaystyle K_{S}={\frac {1}{2}}sign(\varphi )(\varphi ''\psi '-\varphi '\psi '')-{\frac {-\psi '}{\mid \varphi \mid }}}
K
G
=
−
φ
′
φ
{\displaystyle K_{G}={\frac {-\varphi '}{\varphi }}}
Ajnštajnova konvencija o sabiranju derivacione formule I vrste i Kristofelovi simboli površi [ ] Uvedimo označavanje pomoću indeksa.
u
=
u
1
{\displaystyle u=u^{1}}
v
=
u
2
{\displaystyle v=u^{2}}
E
=
g
11
{\displaystyle E=g_{11}}
F
=
g
12
=
g
21
{\displaystyle F=g_{12}=g_{21}}
G
=
g
22
{\displaystyle G=g_{22}}
L
=
b
11
{\displaystyle L=b_{11}}
M
=
b
12
=
b
21
{\displaystyle M=b_{12}=b{21}}
N
=
b
22
{\displaystyle N=b_{22}}
r
u
=
r
u
1
=
r
1
{\displaystyle r_{u}=r_{u^{1}}=r_{1}}
r
v
=
r
u
1
2
=
r
2
{\displaystyle r_{v}=r_{u^{1}2}=r_{2}}
r
u
u
=
r
11
{\displaystyle r_{uu}=r_{11}}
r
u
v
=
r
12
{\displaystyle r_{uv}=r_{12}}
r
v
v
=
r
22
{\displaystyle r_{vv}=r_{22}}
Koeficiente I kvadratne forme označavamo sa
g
i
j
{\displaystyle g_{ij}}
b
i
j
{\displaystyle b_{ij}}
g
i
j
=
r
i
∗
r
j
{\displaystyle g_{ij}=r_{i}*r_{j}}
b
i
j
=
r
i
j
∗
v
=
−
r
i
∗
v
j
=
−
r
j
v
i
{\displaystyle b_{ij}=r_{ij}*v=-r_{i}*v_{j}=-r_{j}v_{i}}
Koeficiente prve kvadratne forme možemo prikazati matricom:
(
g
11
g
12
g
21
g
22
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}}
(
g
i
j
)
{\displaystyle (g_{ij})}
Pri ovakvoj upotrebi gornjih i donjih indekasa, obično se koristi i takozvana
Ajnštajnova konvencija za sabiranje, koja se sastoji u tome da se po indeksu koji se u nekom momentu nalazi jednom kao donji, a drugi put kao gornji, podrazumjeva sabiranje i bez znaka
Σ
{\displaystyle \Sigma}
Primjer, Jednačina ravni može senapisati
a
1
x
1
+
a
2
x
2
+
a
3
x
3
=
b
<=>
a
i
x
i
=
b
{\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=b<=>a_{i}x^{i}=b}
Posmatrajmo površ
r
=
r
(
u
1
,
u
2
)
{\displaystyle r=r(u^{1},u^{2})}
(
u
1
,
u
2
)
∈
U
⊂
E
2
{\displaystyle (u^{1},u^{2})\in U\subset E^{2}}
Tada se drugi izvodi
r
j
k
=
d
2
r
/
d
u
j
d
u
k
{\displaystyle r_{j}k=d^{2}r/du^{j}du^{k}}
r
j
k
=
Γ
j
k
1
r
1
+
Γ
j
k
2
r
2
+
B
j
k
v
=
Γ
j
k
p
r
p
+
B
j
k
v
{\displaystyle r_{jk}=\Gamma _{jk}^{1}r_{1}+\Gamma _{jk}^{2}r_{2}+B_{jk}v=\Gamma _{jk}^{p}r_{p}+B_{jk}v}
(
p
,
j
,
k
=
1
,
2
)
{\displaystyle (p,j,k=1,2)}
Imamo
r
j
k
=
r
j
k
<=>
Γ
j
k
1
=
Γ
k
j
1
{\displaystyle r_{jk}=r_{jk}<=>\Gamma _{jk}^{1}=\Gamma _{kj}^{1}}
Γ
j
k
2
=
Γ
k
j
2
{\displaystyle \Gamma _{jk}^{2}=\Gamma _{kj}^{2}}
B
j
k
=
B
k
j
{\displaystyle B_{jk}=B_{kj}}
Odredimo koeficiente razlaganja.
r
j
k
∗
v
=
B
j
k
{\displaystyle r_{jk}*v=B_{jk}}
B
j
k
=
b
j
k
=
r
j
k
∗
v
{\displaystyle B_{jk}=b_{jk}=r_{jk}*v}
r
1
∗
r
j
k
=
Γ
j
k
1
q
11
+
Γ
j
k
2
q
12
=
Γ
j
k
p
q
1
p
{\displaystyle r_{1}*r_{jk}=\Gamma _{jk}^{1}q_{11}+\Gamma _{jk}^{2}q_{12}=\Gamma _{jk}^{p}q_{1p}}
r
2
∗
r
j
k
=
Γ
j
k
p
q
2
p
{\displaystyle r_{2}*r_{jk}=\Gamma _{jk}^{p}q_{2p}}
Kako
B
j
k
=
b
j
k
=
b
k
j
{\displaystyle B_{jk}=b_{jk}=b_{kj}}
Γ
i
j
k
=
r
i
∗
r
j
k
{\displaystyle \Gamma _{ijk}=r_{i}*r_{jk}}
dobijamo
Γ
i
.
j
k
=
r
i
∗
r
j
k
=
q
i
p
Γ
j
k
p
{\displaystyle \Gamma _{i.jk}=r_{i}*r_{jk}=q_{ip}\Gamma _{jk}^{p}}
pa imamo jednačinu
r
j
k
=
Γ
j
k
p
r
p
+
b
j
k
v
{\displaystyle r_{jk}=\Gamma _{jk}^{p}r_{p}+b_{jk}v}
Γ
i
.
j
k
=
Γ
i
.
k
j
{\displaystyle \Gamma _{i.jk}=\Gamma _{i.kj}}
Γ
j
k
i
=
Γ
k
j
i
{\displaystyle
\Gamma^i_{jk}=\Gamma^i_{kj}
}
Jednačina
r
j
k
=
Γ
j
k
1
r
1
+
Γ
j
k
2
r
2
+
B
j
k
v
=
Γ
j
k
p
r
p
+
B
j
k
v
{\displaystyle r_{jk}=\Gamma _{jk}^{1}r_{1}+\Gamma _{jk}^{2}r_{2}+B_{jk}v=\Gamma _{jk}^{p}r_{p}+B_{jk}v}
(
p
,
j
,
k
=
1
,
2
)
{\displaystyle (p,j,k=1,2)}
se zove derivaciona jednačina I vrste površi
r
=
r
(
u
1
,
u
2
)
{\displaystyle r=r(u^{1},u^{2})}
Γ
i
.
j
k
{\displaystyle \Gamma _{i.jk}}
Kristofelovi simboli I vrste , a veličine
Γ
j
k
i
{\displaystyle \Gamma^{i}_{jk}}
Kristofelovi simboli II vrste
Za koeficiente prve kvadratne forme površi definišimo
g
i
j
;
k
=
d
d
u
k
(
g
i
j
)
{\displaystyle g{ij;k}={\frac {d}{du^{k}}}(gij)}
Neke rotacione površi [ ] Pseudosfera [ ] Pseudosfera je rotaciona površ konstantne negativne Gausove krive koja nastaje rotacijom traktrise oko njene asimptote. Parametarska jednačina traktrise je
x
(
t
)
=
a
(
t
−
t
a
n
h
t
)
{\displaystyle x(t)=a(t-tanht)}
y
(
t
)
=
a
s
e
c
h
t
{\displaystyle y(t)=asecht}
pa je parametarska jednačina pseudosfere
{
x
=
s
e
c
h
u
c
o
s
v
y
=
s
e
c
h
u
s
i
n
v
−
z
=
u
−
t
a
n
h
u
{\displaystyle {\begin{cases}x=sechucosv\\y=sechusinv\\-z=u-tanhu\end{cases}}}
u
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle u\in (-\infty ,\infty )}
v
∈
{\displaystyle v\in }
0
,
2
π
{\displaystyle 0, 2\pi}
Katenoid (Catenoid) [ ] Katenoid je trodimenziona površ koja nastaje rotacijom katemptote oko x ose. Ako ne računamo ravan, to je prva otkrivena minimalna površ. Njeno otkriće da je minimalna se pripisuje Ojleru, koji je pisao o katenoidu u svojoj knjizi "Metode za nalaženje krivih linija koje posjeduju osobine maksimuma ili minimuma" objavljenoj 1744. godine.
Za
u
∈
{\displaystyle u \in }
0
,
2
π
{\displaystyle 0, 2\pi}
v
∈
R
{\displaystyle v \in R}
{
x
=
c
c
o
s
h
(
v
/
c
)
c
o
s
u
y
=
c
c
o
s
h
(
v
/
c
)
s
i
n
u
z
=
v
{\displaystyle {\begin{cases}x=ccosh(v/c)cosu\\y=ccosh(v/c)sinu\\z=v\end{cases}}}
Ding-dong površ (Ding-dong surface) [ ] Ding-dong površ je j rotaciona površ data jednačinom:
x
2
+
y
2
=
(
1
−
z
)
z
2
{\displaystyle x^2 + y^2 = (1 - z)z^2}
Za
u
∈
{\displaystyle u \in }
0
,
2
π
{\displaystyle 0, 2\pi}
v
∈
(
−
∞
,
1
)
{\displaystyle v\in (-\infty, 1 )}
{
x
=
a
v
1
−
v
c
o
s
u
y
=
a
v
1
−
v
s
i
n
u
z
=
a
v
{\displaystyle
\begin{cases}
x=av\sqrt{1-v}cos u \\
y=av\sqrt{1-v}sin u \\
z=av
\end{cases}}
Osmica površ (Eight surface) [ ] Parametarska jednačina osmice površi date je sa
{
x
=
c
o
s
u
s
i
n
(
2
v
)
y
=
s
i
n
u
s
i
n
(
2
v
)
z
=
s
i
n
v
{\displaystyle {\begin{cases}x=cosusin(2v)\\y=sinusin(2v)\\z=sinv\end{cases}}}
u
∈
{\displaystyle u \in }
0
,
2
π
{\displaystyle 0, 2\pi}
u
v
∈
{\displaystyle uv\in }
−
π
/
2
p
i
/
2
{\displaystyle -\pi /2pi/2}
Torus (Torus) [ ] Torus je rotaciona površ koja se dobija rotacijom kružnice u trodimenzionom
prostoru oko ose komplanarne sa kružnicom.
Ako osa rotacije ne dodiruje kružnicu površ ima oblik prstena i naziva se
prstenasti torus ili samo torus. U slućaju da je osa rotacije tangenta
kružnice dobijena površ se naziva rog torus, a kada za osu rotacije uzmemo
tetivu kružnice rezultujuća površ je vretenasti torus.
Njegove parametarska jednačine e oblika
{
x
=
(
c
+
a
c
o
s
v
)
c
o
s
u
y
=
(
c
+
a
c
o
s
v
)
s
i
n
u
z
=
a
s
i
n
v
{\displaystyle \begin{cases}
x = (c + a cos v) cos u \\
y = (c + a cos v) sin u \\
z = a sin v
\end{cases}}
u
,
v
∈
{\displaystyle u,v\in }
0
,
2
π
{\displaystyle 0, 2\pi}
Fanel površ (lijevak) (Funnel surface) [ ] Fanel površ nastaje rotacijom krive
l
n
x
{\displaystyle lnx}
z
{\displaystyle z}
z
=
1
2
a
l
n
(
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle z={\frac {1}{2}}aln(x^{2}+y^{2})}
![{\displaystyle f{\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}:[0,2\pi ]\to R^{3}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/921722872cda68e06cdba6b84a6fb1b3be0c2fc2)
