Razlomci

Posmatrajmo krugove na crtezu

Koliko krugova ima na crtezu. Brojimo: $1,2,3,4$. Ima 4 kruga.

Ovo je dio kruga

Neka je krug podijeljen na 4 jednaka dijela. jedan taj dio zove se cetvrtina kruga i pise ${\frac {1}{4}}=$. Na ovaj nacin uveli smo pojam razlomka. On se sastoji od brojnika i imenioca. Brojnik pokazuje koliko ima dijelova, a imenioc na koliko dijelova je podijeljen krug.

Sada lako mozeno odrediti koliko imamo dijelova.

Opčenito o razloncima

Autor	Prof. Dr. ing. Boris Apsen
Izvor	Repetitorij elementarne matematike

Obični razlomci

${\frac {a}{b}}$ je p r a v i razlomak, akoje $a<b$.

Znak $<$ čita se manje od.

Npr: ${\frac {1}{2}}$, ${\frac {2}{3}}$, ${\frac {7}{8}}$ itd. su pravi razlomci

${\frac {a}{b}}$ je n e p r a v i razlomak, akoje $a>b$

Znak $>$ čita se veće od.

Npr: ${\frac {3}{2}}$, ${\frac {8}{7}}$ ${\frac {13}{5}}$ itd. su nepravi razlomci

M j e š o v i t i b r o j je zbroj cijelog broja i pravog razlomka, pri čemu se dogovorno ne piše znak + između cijelog i razlomljenog dijela broja.

Mješoviti se broj pretvara u nepravi razlomak tako da se cijeli broj pomnoži s nazivnikom, tom umnošku se pribroji brojnik, pa se tako dobiveni zbroj podijeli s nazivnikom.

$5{\frac {3}{7}}=5+{\frac {3}{7}}={\frac {5*7+3}{7}}={\frac {38}{7}}$

Decimalni razlomci

Razlomak kojem je nazivnik jedinica s jednom ili više nula zove se decimalni razlomak, pa se radi jednostavnosti piše tako da se u brojniku odijeli od lijeva na desno decimalnom tačkom ili zarezom toliko znamenaka, koliko ima nula u nazivniku. U tom slučaju pisanje nazivnika postaje nepotrebnim, te se izostavlja. Ima li brojnik manji broj znamenaka negoli nazivnik nula, znamenke koje nedostaju zamjenjuju se nulama

Npr:

${\frac {3}{10}}=0,3$

${\frac {3}{100}}=0,03$

${\frac {137}{100}}=13,73$

Decimalni razlomak ne mijenja svoje vrijednosti ako mu se na kraju pripišu nule.

Npr: $72,36=72,36000$ jer je ${\frac {7236000}{100000}}={\frac {7236}{100}}$

Pretvaranje običnog razlomka u decimalni. Periodski decimalni razlomci

O b i č n i r a z l o m a k p r e t v a r a s e u d e e i m a l n i tako da se brojnik podijeli s nazivnikom. Tu mogu biti tri slučaja:

• Nazivnik običnog razlomka (10 = 2 · 5), odnosno samo 2 ili samo 5* sadrži samo množitelje 2 i 5. U tom slučaju dobiva se k o n a č n i d e e i m a l n i r a z 1 o m a k.

Npr:

${\frac {11}{80}}=11:80=1,1375$

Pamti

$80=2*2*2*2*5$

Pamti

${\frac {1}{2}}=0,5$

${\frac {1}{4}}=0,25$

${\frac {3}{4}}=0,75$

${\frac {1}{8}}=0,125$

• Ako nazivnik običnog razlomka ne sadrži množitelje 2 i 5, dolazimo dijeljenjem brojnika s nazivnikom do č i s t o p er i o d s k o g b e s k o n a č n o g d e e i m a l n o g r a z l o m k a.

Primjer:

${\frac {2}{3}}=0,666...=0,{\dot {6}}=0,(6)$

Brojke koje se ponavljaju čine p e r i o d beskonačnog decimalnog razlomka, koji se označuje tako da se stave tačke iznad svake znamenke perioda ili samo iznad prve i poslednje znamenke perioda ili se čitav period stavi u zagrade.

${\frac {3}{7}}=3:7=0,428574142857414285741=0,{\dot {4}}28574{\dot {1}}=0,(4285741)$

• Ako nazivnik običnog razlomka sadrži osim drugih množitelja također množitelje 2 ili 5, odnosno 2 i 5, dolazimo dijeljenjem brojnika s nazivnikom do m j e š o v i t o g p e r i o d s k o g b e s k o n a č n o g d e c i m a l n o g r a z l o m k a.

${\frac {12}{35}}=12:35=0,3428571428571428571...=0,3{\dot {4}}{\dot {2}}{\dot {8}}{\dot {5}}{\dot {7}}{\dot {1}}=0,3{\dot {4}}2857{\dot {1}}=0,,(428571)$

$35=7*5$

${\frac {97}{440}}=97:440=0,220454454...=0,220{\dot {4}}{\dot {5}}{\dot {4}}=0,220{\dot {4}}5{\dot {4}}=0,220(454)$

$440=2*2*2*5*11$

Pretvaranje decimalnog razlomka u obični

Tu mogu biti također tri slučaja:

• K 0 n a č n i d e e i m a l n i raz l o m a k pretvara se u obični tako, da se u brojnik napiše zadani decimalni razlomak ispustivši decimainu tačku, a u nazivnik se stavi l sa toliko nula, koliko decimalni razlomak ima znamenaka iza decimalne tačke.

Primjeri

$0,17={\frac {17}{100}}$

$0,00613={\frac {613}{100000}}$

$5,87=5{\frac {87}{100}}={\frac {587}{100}}$

• Č i s t o p e r i o d s k i r a z l o m a k pretvara se u obični tako da se u brojnik napiše period, a u nazivnik broj koji se sastoji od toliko devetica, koliko ima znamenaka u periodu.

$0,{\dot {3}}={\frac {3}{9}}={\frac {1}{3}}$

$0,{\dot {3}}{\dot {7}}={\frac {37}{99}}$

$7,(013)=7{\frac {13}{999}}$

• M j e š o v i t i p e r i o d s k i r a z 1 o m a k pretvara se u obični Lako da se u brojnik napiše razlika između broja što ga čine sve znamenke zadanog razlomka, i broja koji se sastoji od znamenaka ispod perioda, a u nazivnik broj koji ima toliko devetica koliko ima znamenaka u periodu, i toliko nula koliko ima znamenaka ispred perioda.

$0,3{\dot {4}}={\frac {34-3}{90}}={\frac {31}{90}}$

$7,15(438)=7{\frac {15438-15}{99900}}=7{\frac {15423}{99900}}$

Proširivanje razlomaka

Vrijednost razlomka se ne mijenja ako mu se brojnik i nazivnik pomnože s i s t i m brojem. Proširivanje razlomka daje mogućnost svođenja dvaju ili više razlomaka na zajednički nazivnik.

Primjer: Koji od razlomaka ${\frac {2}{3}}$ i ${\frac {7}{12}}$ ima vecu vrijednost?

Proširimo li prv1 razlomak sa 4, dobijemo:

${\frac {2}{3}}={\frac {2*4}{3*4}}={\frac {8}{12}}$

Kako je ${\frac {8}{12}}>{\frac {7}{12}}$ bit će ${\frac {2}{3}}>{\frac {7}{12}}$

Proširi vanjem d e c i m a l n i h r a z l o m a k a opravdava se pripisivanje nula na kraju decimalnog razlomka.

Npr $7,9=7,90=7,900$

Skračivanje razlomaka. Najveća zajednička mjera

Vrijednost razlomka se ne mijenja ako mu se brojnik i nazivnik podijele s i s t i m brojem. To svojstvo razlomaka daje mogućnost njihovn s k r a ć i v a n j a.

Skratiti razlomak znači podijeliti brojnik i nazivnik s njihovom najvećom zajedničkom mjerom.

N a j v e ć a z a j e d n i č k a m j er a dvaju ili više brojeva jest onaj najveći broj, s kojim možemo sve zadane brojeve podijeliti bez ostatka.

Ako su brojnik i nazivnik veći brojevi, određivanje njihove najveće zajedničke mjere, s kojom će se brojnik i nazivnik podijeliti da se razlomak skrati, vrši se tako, da se oba broja napišu jedan uz drugi, pa se traži onaj množitelj koji je sadržan u o b a broja, s tim množiteljem dijele se oba broja, pa se postupak nastavlja dok ide. Tražena najveća zajednička mjera jednaka je umnošku ispisanih množitelja.

Primjer: Neka se skrati razlomak:${\frac {924}{1092}}$

$924=2*2*3*7*11$

$1092=2*2*3*7*13$

Najveća zajednička mjera je $2*2*3*7=84$

${\frac {924}{1092}}={\frac {924:84}{1092:84}}={\frac {11}{13}}$

Skračivanje d e c i m a l n i h r a z l o m a k a svodi se na brisanje nula na kraju razlomka.

Npr.: $3,0050700=3,00507$.

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka. Najmanji zajednički višekratnik

Razlomci imaju jednake nazivnike

${\frac {a}{c}}\pm {\frac {b}{c}}={\frac {a\pm b}{c}}$

${\frac {3}{17}}+{\frac {8}{17}}-{\frac {5}{17}}={\frac {3+8-5}{17}}={\frac {11-5}{17}}={\frac {6}{17}}$

Razlomci imaju različite nazivnike

${\frac {a}{b}}\pm {\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bd}}\pm {\frac {cb}{db}}={\frac {ad\pm bc}{bd}}$

https://fitdocs.files.wordpress.com/2015/03/boris-apsen-repetitorij-elementarne-matematike-copy.pdf