Ne postoji formula pomoću koje bi mogli odrediti n-ti prosti broj, to predstavlja jedan od najvećih otvorenih matematičkih problema. Podjednako težak problem je i određivanje nacina i gustoće raspodjele prostih brojeva u skupu N.

Postavlja se pitanje

Koliko prostih brojeva ima na nekom proizvoljno odabranom intervalu?

Ako bi postojala funkcija π(n) koja bi kao rezultat mogla dati broj prostih brojeva koji su manji ili jednaki zadanom broju n, tada bi njen grafik bio

Prosti brojevi.jpg

Prosti brojevi 1.jpg

Sa označavat ćemo broj prostih brojeva p takvih da je

,

Na taj način dobijamo funkciju

Jedan od prvih velikih problema matematike XIX vijeka bio je razumjeti ponašanje te funkcije, odnosno dobiti informaciju o njenom asimptotskom ponašanju.

Prosti brojevi 2.jpg

Vrijednosti funkcije







Zanimljivo je upoređivanje razmjere gustoće prostih brojeva manjih od nekog broja n i recipročne vrijednosti prirodnog logaritma tog broja. Kao što se vidi po tablici, gustoća prostih brojeva u skupu N opada kao i recipročna vrijednost prirodnog logaritma broja n, za velike vrijednosti n ( )

Prosti brojevi 3.jpg

Izračunata vrijednost za dobivena je pretpostavljajući Riemannovu hipotezu

Osobine[uredi | uredi izvor]

Postoji beskonačno mnogo prostih brojeva.

Ako je prost broj i sko dijeli , onda dijeli ili .

Mala teorema Fermata. Ako je prost broj, je prirodni broj, onda je deljiv sa .

Wilsonova teorema. Prirodni broj je prost ako i samo ako je djeljiva po sa

Bertrandov postulat. Ako je prirodan broj, tada postoji prost broj takva da je .

Dirichletova teorema o prostim brojevima u aritmetičkoj progresiji. Bilo koja vrsta aritmetičke progresije gdje je - cijeli broj sadrži beskonačno mnogo prostih brojeva.

Fermatova teorema. Svaki ptost broj oblika je zbir dva kvadrata prirodnih brojeva.

Svaki prosti broj veći od može se predstaviti u obliku ili , gdje je neki prirodan broj.

Broj koji slijedi iza prostog broja ne može biti kvadratni ili viši stepen sa bazom većom od 2.

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.