Prirodni brojevi su svi cijeli brojevi veci od nule. tj. tu spada bilo koji broj prirodnog niza.
Niz prirodnih brojeva je Svi clanovi niza prirodnih brojeva cine skup prirodnih brojeva. Taj skup oznacavamo sa
skup prirodnih brojeva.
Skup prirodnih brojeva je beskonacan i prebrojiv. Kada skupu prirodnih brojeva dodamo nulu dobijemo prosireni skup koji oznacavamo sa .
Na ovom skupu definisane su operacije sabiranja i mnozenja, dok mnozenje i dijeljenje ne mora biti definisano.
Sabrati dva broja znaci dodati broju m broj n. Koristi se znak
komutativmost
asocijativnost
U skupu nema neutralnog elementa niti inverznog za sabiranje. na skupu postoji neutralan element
Pomnoziti dva broja znaci naci broj
mnozenje
komutativnost
asocijativnost
Broj je neutralan element za mnozenje
U skupu prirodnih brojeva N nema inverznog elementa za mnozenje, ali vrijedi zakon kracenja s brojem .
Distributivnost mnozenja u odnosu na sabiranje
Operacija oduzimanja definisna je samo za .
Na skupu prirodnih brojeva N definisane su relacije uredjenja i . Odnosno
ili
Za dva broja m, n vrijedi ili
Primjer:
.
Svaka dva broja su uporediva, tj. uvijek vrijedi ili .
Relacija uredjenja je
antisimetricna
i vrijedi ako i samo ako je
tranzitivna,
i povlaci
Operacija uredjenja je u skladu sa sabiranjem, tj. za svaki broj m, n
i u skladu je s mnozenjem
Navedene osobine sabiranja, mnozenja i uredjenja omogucavaju nam da svaki prirodan broj mozemo zapisati u decimalnom sistemu
u kom mozemo izvoditi racunske operacije sabiranja i mnozenja
Sve osobine prirodnih brojeva, ukljucujuci i operacije sabiranja i mnozenja s navedenim osobinama, mogu se izvesti iz Peanovih aksioma:
1 je prirodan broj.
Svaki prirodan broj ima tacno jednog sljedbenika skupu prirodnih brojeva.
Uvijek je , ( 1 nije sljedbenik nijednog prirodnog broja).
Iz proizlazi ( prirodan broj moze biti sljedbenik samo jednog ili nijednog prirodnog broja).
Princip potpune indukcije
Svaki podskup skupa prirodnih brojeva koji sadrzi broj 1 i koji sadrzi sljedbenika svakog svog elementa, sadrzi sve prirodne brojeve ( )
Operacija sabiranja definisana je induktivno tj.
Moze se induktivno definisati i mnozenje
Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.