Matematika Wiki
Advertisement

U svakom trouglu samo jedanugao može biti pravi.

Ako bi  trougao ABC imao dva prava ugla, onda bi u tački C bile dvije normale na pravu a.

U pravouglom trouglu važiPitagorina teorema.

Konstrukcija

Konstruisati pravougli trougao ako su zadane dvije katete.

Konstruišemo pravi ugao sa vrhom u C. Na njegove krake nanesemo katete. Trougao je jednoznačno određen

Trougao 3.jpg


Konstruisati pravougli trougao ako su zadane kateta i hipotenuza.

Trougao 4.jpg

Konstruišemo katetu. U jednom njenom kraju povučemo normalu Iz drugog kraja povucimo kružnicu poluprečnika c i odredimo presjek sa normalnom, Tako odredimo treći ugao. Trougao je jednoznačno određen.

Konstruisati pravougli trougao ako su zadani hipotenuza i ostri ugao

Trougao 5.jpg

Neka je zadan ugao . Drugi ugao možemo naći

Konstruišimo hipotenuzu i na njezinim krajevima konstrušimo uglove i . Trougao je jednoznačno određen.

Konstruisati pravougli trougao ako su zadani kateta i njoj naspramni ili nalegli ugao .

Trougao 6.jpg

Konstruišemo katetu i na njenim krajevima konstruišemo pravi ugao i ili . ()

U sjecištu tih uglova je treći vrh A. Trougao je jednoznačno određen.


Konstruišimo pravougli trougao ABC kojem je zadana duzina katete b i razlika uglova i

Trougao 7,1.jpg

Analiza

Nacrtajmo skicu trougla označimo njegove zadane elemente kao na prvoj slici. Za tačku D vrijedi . Trougao ADC je jednakokraki pa je ugao pri vrhu D jednak . Taj ugao je vanjski ugao za trougao DBC. Ugao DCB je

Konstrukcija Konstruišimo najprije komplement ugla , a zatim pomočni jednakokraki trougao ACD kome znamo ugao pri vrhu C i oba kraka. Produžimo stranicu AD i nacrtajmo normalu u vrhu C na stranicu . Presjek tih pravi je vrh B

Diskusija

Zadatak uvijek ima jedno rješenje. Konstruišimo pravougli trougao ABC kojem je zadana dužina katete a i razlika dužina hipotenuze i druge katete .

Analiza

Nacrtajmo skicu trougla i označimo njegove elemente kao na prvoj slici. Za tacku D vrijedi . U pomočnom pravouglom trouglu BCD poznate su nam obje katete pa taj trougao možemo konstruisati. Trougao ABD je jednakokraki, pa je ugao pri vrhu B jednak uglu pri vrhu D.

Trougao 8.jpg

Konstrukcija

Konstruišimo trougao BCD kome su zadane obe katete i . Produžimo stranicu preko vrha C. Konstruišimo pri vrhu B ugao jednak uglu kod vrha D. Drugi krak tog ugla sijeće pravu DC u trećem vrhu A trougla .

Rasprava

Zadatak ima uvijek jedno rješenje, bez obzira kakve podatke zadali.

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija

[1]

Ugao Radijan Sinus Kosinus Tangens Kotangens
00 0 0 1 0
300
450 1 1
600
900 1 0 0

Trougao sa uglovima 450– 450 – 900

Uglovi ovog trougla su u omjeru .[2]
Kako je njihov zbir 1800 to je
i
.
Omjer dužina stranica je [3]
Jedini moguč trougao sa ovim omjerom u Euklidskoj geometriji je jednakokraki pravougli trougao a u hiperboličkoj ih ima beskonačno mnogo.
Od svih trouglova ovaj ima najmanji odnos hipotenuze i katete

Trougao sa uglovima 300– 600 – 900

Uglovi ovog trougla su u omjeru [4]pa je
.
Omjer dužina stranica je
Jedini moguč trougao sa ovim omjerom stranica u Euklidskoj geometriji je trougao čije dužine stranice čine aritmetičku progresiju
Koristeci formule za Pitagorine trojke dužine stranica pravouglog trougla moraju zadovoljavati
.
Trougao sa stranicama 3,4,5 je jedinstven oravougli trougao čije stranice čine aritmetički niz.

Trougao čije stranice čine geometrijski niz

Dužine stranica zadovoljavaju jednačinu

Stranice trougla imaju dužinu
, i
  1. Тригонометрија правоуглог троугла
  2. 45°- 45°- 90° Triangle
  3. Posamentier, Alfred S., and Lehman, Ingmar. The Secrets of Triangles. Prometheus Books, 2012.
  4. 30°- 60°- 90° Triangle


Advertisement