Matematika Wiki
Advertisement

Pravac.png

Grčki matematičar Euklid u knjizi Elementi dao je definiciju linije

Linija je dužina bez širine .

Krajevi linije su tačke.

Prava linija je ona koja za sve tačke podjednako leži.

Arhimedova aksioma

Od svih linija sa istim krajevima prava linija je najkrača.

Prava kao jedan od osnovnih elemenata geometrije ne definiše se. Njene osobine daju se aksiomama.

Antičke definicije

Euklidovi Elementi, knjiga I

Definicija 2

Linijaje dužina bez širine

Definicija 3

Krajevi linije su tačke

Definicija 4

Prava linija je ona, koja za tačke na njoj podjednako leži

Arhimed, O lopti i valjku, knjiga I

Aksioma 1

Od svih linija sa istim krajevima prava linija je najkraća.

Osobine prave

  1. kroz bilo koju tačku ravni može se povući beskonačno mnogo pravih
  2. Svake dvije različite tačke pripadaju jednoj i samo jednoj pravoj. 
  3. Svaka prava sadrži najmanje dvije zajedničke tačke
  4. Dvije različite tačke su uvijek kolinearne
  5. Dvije različite prave ravni mogu se sjeći ili da budu paralelne
  6. Dvije različite prave prostora mogu se sjeći. biti paralelne ili mimoilazne.
  7. Prava je algebarska kriva I stepena

Određivanje jednačine prave u ravni

Posmatrajmo pravu u Dekartovom koordinantnom sistemu. Pravu možemo definisati kao geometrijsko mjesto tačaka, gdje Dekartove koordinate zadovoljavaju jednačinu

, gdje parametri a,b,c ne mogu biti istovremeno jednaki nuli.

Za prava je paralelna sa 0x- osom, a za sa 0y-osom.

Za imamo

Analitičke definicije

Prava se u pravougaonom koordinatnom sistemu može zadati na jedan od tri načina:

  • Pomoću odsječka b na ordinati i ugla koji gradi prava sa pozitivnim pravcem apscise.
  • Jednačina prave je , gdje je i često se zove opšta jednačina prave. Obično se kod ovakve jednačine m zove koeficijent pravca, a b je odsječak ordinate.
  • Pomoću odsječaka b i c koje prava odsjeca na koordinatnim osama.

Jednačina prave gdje je je segmentska.

Pomoću njenog rastojanja do koordinantnog početka p i ugla koji gradi to rastojanje sa pozitivnom stranom apscise.

Normalna jednačina prave se zove jednačina oblika

Prava u tri i višedimenzionalnom prostoru

Ako je dat skup tačaka

  • - Proizvoljna tačka prave.
  • - vektor koji označava pravac prave. Ako se ove tačke poklapaju imamo nula vektor,
  • - parametar.
Parametarska jednačina

Parametarska jednačina prave glasi:

Ako u ovoj jednačini eliminišemo parametar λ dobijamo kanonsku jednačinu prave

Tačka i prava u prostoru

Neka su dati tačka M i prava a = A + αv takve da je

.

Za njihov međusobni polozaj vrijedi

  1. Tačka ne pripada pravoj, ako nе postoji α zа које је {P = A + αv}
  2. Tačka pripada pravoj, ako postoji α zа које је {P = A + αv}

Udaljenost tačke od prave

Udaljenost tačke od prave je jednaka dužini udaljenosti između zadane tačke M и njene normalne projekcije M' nа pravu a, tj ovdje je vektor MM' normalan nа vektor prave v.


tj. .

Ako je vrijednost ovog izraza nula dobijamo:

( skalarni proizvod)
U prostoru važi:

Prava i tačka u prostoru

Neka su date tačka P i prava pri čemu . Mogući položaji među njima su:

  • Tačka je van prave, tj. ne postoji za koje je
  • Tačka je na pravoj, tj. postoji za koje je

Rastojanje tačke od prave

Rastojanje tačke od prave se predstavlja kao dužina najkraćeg puta od tačke do prave. Dužina ovog puta jednaka rastojanju između tačke P i njene projekcije P', na a. Ova tačka se nalazi preko činjenica da tačka P' pripada pravoj i da je vektor PP' normalan na vektor prave v.

( skalarni proizvod)

Odavde se da odrediti vrijednost α i tada je P' = a+ αv. Rastojanje prave od tačke će biti jednako rastojanju P od P' ili intenzitetu vektorra PP' to jest . Ako je vrijednost ovog izraza nula, to je još jedan način za pokazivanje da se tačka P nalazi na pravoj a.

Rastojanje tačke od prave u R³

Specijalno u važi:

( vektorski proizvod i intenzitet vektora)

Advertisement