Površi

Površ drugog reda je skup svih tačaka trodimenzionalnog prostora koje zadovoljavaju

$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+K=0$

za bar jedan $A,B,C,D,E\neq 0$ tj. u formuli postoji barem jedan netrivijalni nelinearni član.

Primjer

Jednačina sfere (loptine površi) radijusa $r$ s centrom u tački $(x_0, y_0, z_0)$ data je sa

$\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}$

Ovom formulom su zadane dvije funkcije dvije varijable:

z=f_{1}(x,y)=z_{0}+{\sqrt {r^{2}-(x-x_{0})^{2}-(y-y_{0})^{2}}}

z=f_{2}(x,y)=z_{0}-{\sqrt {r^{2}-(x-x_{0})^{2}-(y-y_{0})^{2}}}

Nivo-površi sfere (presjeci s ravnima paralelnim s $xy$ ravni) i presjeci s ravnima paralelnim s $xz-$ i $yz$ ravnima su kružnice.

Linijske plohe[]

Linijska površ je skup pravih prostora neprekinuto povezanih po nekom zakonu . Nastaju na sljedeci nacin:

klizanjem prave po nekoj prostornoj krivoj. Prava koja klizi naziva se izvodnica ili generatrisa, a kriva po kojoj klize, ravnalica ili greben površi
povezivanjem triju krvih (ravnalica) transverzalama.

Ako su za ravnalice odabrane algebarske krive, nastaje algebarska površ. Za ovaj prikaz bitne su samo povrsi koje nastaju povezivanjem triju algebarskih ravnalica transverzalama.

Njihova se konstrukcija može izvesti na sljedeći način:

Neka su zadane krive $k_1$ , $k_2$ i $k_3$ . Na krivoj $k_1$ uoći se tačka A koja se pravima spoji sa svim tačkama krive $k_2$ čime je formirana kupa $F$ .

Kriva $k_3$ probada kupu $F$ u konaćnom broju tačaka.

Jednim tako dobivenim probodištem prolazi izvodnica kupe $F$ , a to je ujedno i transverzala krivih $k_1$ , $k_2$ i $k_3$ . Taj se postupak ponavlja za ostale tačke krive $k_1$ čime je formiran jednoparametarski skup izvodnica $i$ . Sve takve izvodnice i čine linijsku površ.

Istaknimo neke vazne cinjenice

Teorema (o redu linijske povrsi)

Ako su algebarske krive $k_1$ , $k_2$ i $k_3$ redova $n_1$ , $n_2$ i $n_3$ . i ako se krive $k_1$ , $k_2$ sijeku u $s_3$ tacaka krive $k_1$ i $k_3$ u $s_2$ , a krive $k_2$ i $k_3$ u $s_1$ tačaka, tada je linijska površ zadana krivama $k_1$ , $k_2$ i $k_3$ reda:

$R=2n_{1}n_{2}n_{3}-(s_{3}n_{3}+s_{2}n_{2}+s_{1}n_{1})$

Svaka algebarska linijska površ ima stepen tj. red je jednak razredu.

Linijske površi mogu biti razmotive i nerazmotive ili vitopere. Vitopere linijske povtsi ne mogu se razmotati u ravni jer su im svake dvije neizmjerno blize izvodnice mimoilazne prave.

Linijske plohe III stepena[]

Prema teoremu o redu linijske površi, linijska povrs III stepena nastat ce ako je jedna ravnalica kriva II stepena, a preostale dvije mimoilazne prave od kojih jedna siječe krivu II stepena u jednoj tački:

$R=2*2*1*1-1=3.$

Zato se linijska površ III stepena zadaje sljedećim ravnalicama:

$c$ kriva II stepena u ravni a prave $d$ i $l$ takve da prava $d$ sijece krivu $c$ u tački $O$ , a prava $l$ probada ravnu $a$ u tacki $O$ koja ne leži na ravnalici $c$ .

Izvodnice površi konstruisu se u ravnima pramena $d$ ili $l$ na sljedeci nacin

Klasifikacija linijskih površi III stepena u odnosu na međusobni položaj ravnalica[]

S obzirom na položaj linijske ravnalice $l$ prema krivoj $c$ i pravoj $d$ izvode se tri slučaja

ravnalica $l$ probada eksterior krive $c$ (postoje dvije ravni pramena [l] koje dodiruju koniku $c$ .( To su torzalne ravni u kojima leže dvije realne torzalne prave koje u sjecištima s dvostrukom pravom $d$ daju dvije kuspidalne tačke )
ravnalica $l$ probada interior krive $c$ (sve ravni pramena [l] sijeku koniku $c$ realno u dvije tačke, površ nema torzalnih pravi niti kuspidalnih taččaka.)
ravnalice $l$ i $d$ se podudaraju.(obuhvata tzv. Cayleyeve plohe linijske ravnalice $l$ i $d$ se podudaraju, površ ima jednu torzalnu pravu koja se podudara s dvostrukom pravom)

Elipsoid[]

Elipsoid (troosi)

$\displaystyle {\frac {(x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

Ako je $a>b>c>0$ tada kažemo da je $a$ velika poluosa, $b$ srednja poluosa i $c$ mala poluosa elipsoida.

Ako su dvije poluose jednake, npr. $a>b=c>0$ tada dobijemo rotacioni elipsoid.

Ako su sve tri poluosi jednake dobijamo sferu ili loptinu površ

$\displaystyle {\frac {(x-x_{0})2}{a^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})2}{b^{2}}}+{\frac {(z-z_{0})2}{c^{2}}}=1$

je jednačina elipsoida čije su glavne ose paralne s koordinatnim osama $x, y, z$ , a dužine poluosa su $a,b,c$ redom.

Nivo plohe elipsoida kao i presjeci s ravnima paralelnim s $xz$ i $yz$ ravnima su elipse.

Elipticki paraboloid[]

Opšta formula eliptičkog paraboloida je

$\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}$

U presjeku sa ravni $x = 0$ i sa bilo kojom njoj paralelnom ravni imamo parabolu (za $x = 0$ to je parabola $z={\frac {y^{2}}{b^{2}}}$

U presjeku s ravni $y=0$ i sa bilo kojom njoj paralelnom ravni imamo parabolu (za $y=0$ ta je parabola jednaka $z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}$

U presjeku za bilo kojom ravni oblika $z=c$ , $c > 0$ je elipsa (posebno, za $z=1$ to je elipsa $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ )

Nivo plohe eliptičkog paraboloida su elipse, a presjeci s ravnima koje su paralelne sa $xz$ i $yz$ ravnima su parabole.

Elipticki paraboloid s vrhom u tački $(x_{0},y_{0},z_{0}$ zadan je s formulom

$\displaystyle z-z_{0}={\frac {(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}}$

Zamjenom varijabli dobijemo eliptički paraboloid uzduž neke druge ose, a pomoću predznaka nezavisne varijable odrđjujemo na koju stranu je paraboloid otvoren.

Hiperboloid[]

Jednokrilni hiperboloid zadan je formulom $\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

Dvokrilni hiperboloid zadan je s formulom

$\displaystyle -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

Nivo površi hiperboloida su elipse, a presjeci s ravnima koje su paralelne s $z$ osom su hiperbole. Kao i kod ostalih površi, pomoću transformacije $x\to x-x_{0}$ pomićemo središte hiperboloida, a cikličkom zamjenom varijabli nastaju hiperboloidi koji se protezu u smjeru ostalih koordinatnih osi.

Hiperbolicki paraboloid[]

Opšta formula hiperboličkog paraboloida je

$\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}$

Hiperbolički paraboloid ima oblik sedla. Nivo plohe su hiperbole, a presjeci s ravnima koje su paralelne sa $xz$ i $yz$ ravnima su parabole.U presjeku s ravni $y=c$ su parabole $z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}$

U presjeku s ravnima $x = c$ su parabole $c={\frac {c^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}$ U preskjeku s ravnima $z=c$ su hiperbole oblika ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=c$ za $c > 0$ i ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-c$ za $c < 0$

Konusne povrsi (s vrhom u koordinantnom pocetku)[]

Konus (kupa) je zadana formulom

$\displaystyle (z-z_{0})^{2}={\frac {(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}}$

Ovim izrazom su zadane dvije funkcije od dvije varijable:

$\displaystyle z=z_{0}+{\sqrt {{\frac {(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}}}}\quad {\textrm {i}}\quad z=z_{0}-{\sqrt {{\frac {(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}}}}$ .

Želimo pronaći jednačinu konusne površi cije izvodnice prolaze kroz koordinantni početak koordinatnog sistema i kroz tačke krive $F(x, y) = 0$ , $z=1$

Na toj krivoj odaberimo proizvoljnu tačku $T_{0}(x_{0},y_{0},1)$ .

Jednačina izvodnice (pravca) kroz tačke $O(0,0,0)$ i $T_{0}(x_{0},y_{0},1)$ glasi

${\frac {x}{x_{0}}}={\frac {x}{y_{0}}}={\frac {z}{1}}$

Vrijedi:

$x=zx_{0}=>x_{0}={\frac {x}{z}}$

$y=zy_{0}=>y_{0}={\frac {y}{z}}$

Jednačina konusne površi čije izvodnice prolaze kroz koordinantni početak i kroz tačke krive

F(x,z)=0

,

y=1

Kako tačka $T_{0}(x_{0},y_{0},1)$ leži na krivoj mora vrijediti $F(x_0,y_0)=0$ dobijamo opštu jednačinu konusne površi

F({\frac {x}{z}}),{\frac {y}{z}})=0

Jednačina konusne površi čije izvodnice prolaze kroz koordinantni početak i kroz tačke krive

F(x,z)=0

i

y=1

je

F({\frac {x}{y}}),{\frac {z}{y}})=0

Kružni konus[]

z^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2}

)

Korjenovanjem gornje jednačine dobijamo

z=\pm a{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}

U presjeku s ravni $z=\pm a$ je kružnica $x^2 + y^2 = 1$

Jenačina za dio kružnog konusa koji se nalazi iznad ravni $z=0$ je

z=a{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}

a za dio koji se nalazi ispod ravni $z=0$ je

z=-a{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}

Eliptički konus[]

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0=>z=\pm c{\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}}$

U presjeku s ravnima $z=\pm c$ imamo elipsu

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Uopšteno u presjeku sa bilo kojom ravni $z=\pm K$ za $K\neq 0$ imamo elipsu oblika ${\frac {x^{2}}{\frac {K^{2}a^{2}}{c^{2}}}}+{\frac {y^{2}}{\frac {K^{2}b^{2}}{c^{2}}}}=1$

Valjkaste površi[]

Izvodnica je paralelna sa osom $OZ$ i prolazi kroz krivu $F(x, y) = 0$ $z=0$

Tada je jednačina površi uopšteno data sa

F(x, y) = 0

(nedostaje z)

Izvodnica je paralelna sa osom

OX

i prolazi kroz krivu

F(y,z)=0

x = 0

Tada je jednačina površi uopsteno data sa

F(y,z)=0

(nedostaje x)

Izvodnica je paralelna sa osom

OY

i prolazi kroz krivu

F(x,z)=0

y=0

Tada je jednacina povrsi uopsteno data sa

F(x,z)=0

(nedostaje y)

Kružni valjak[]

$x^2+y^2 = a^2$

U jednačini nema promjenljive $z$ .

U presjeku sa bilo kojom ravni paralelnoj ravni $z=0$ imamo kružnicu $r=a$

$x^{2}+y^{2}=x$

Ovu jednačinu možemo zapisati i u obliku

(x-{\frac {1}{2}})^{2}+y^{2}={\frac {1}{4}}

Izgled ove površi isti je kao u prethodnom slučaju, samo što je ona pomaknuta u koordinatnom sistemu po $x$ osi za vrijednost $\frac{1}{2}$ . Presjek sa bilo kojom ravni $z=c$ je kružnica $r= \frac{1}{2}$ sa središtem u tački $({\frac {1}{2}},0,c)$

Eliptički valjak[]

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Jednačina ne sadrži $z$ tj. izvodnice su paralelne osom $OZ$ .

U presjeku sa bilo kojom ravni paralelnoj ravnini $z=0$ imamo elipsu s poluosama $a$ i $b$ .

Parabolički valjak[]

$z+y^{2}=4$ Jednačina ne sadrži $x$ tj. izvodnice su paralelne sa osom $OX$ .

U presjeku sa bilo kojom ravni paralelnoj s ravni $x = 0$ imamo parabolu $z=-y^{2}+4$

Rotacione površi[]

Jednačina rotacione površi koja nastaje rotacijom krive $z = f(y)$ oko ose $OZ$

Neka je $\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ udaljenost proizvoljne tačke $T(x,y,z)$ rotacione površi od ose $OZ$ . Tada je jednačina rotacione površi kojoj je osa $OZ$ osa rotacije data sa $z=f(\rho )=f({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})$