Polukubna parabola

Polukubna parabola ima značajno mjesto u istoriji ravanskih krivih. Prva je algebarska kriva, čiju je dužinu luka 1657. godine postupkom rektifikacije odredio Vilijam Nil (1637. - 1670.). Još se naziva i Nilova parabola. Prije polukubne parabole postupak rektifikacije bio je primjenjivan samo na transcendentne krive (za određivanje dužine luka cikloide i logaritamske spirale).

Implicitna jednačina polukubne parabole je $x^3- ay^2 = 0$ pa je parametarizacija

$c(t) = (t^2, at^3)$.

Za a = 1 dobijamo

$c'(t) = (2t, 3t^2)$, $Jc'(t) = (-3t^2, 2t)$, $c''(t) = (2, 6t)$

pa je dužina krive na intervalu: $\left [ 0,t \right ] \quad$

$L_0^t \left [ c \right ] \quad = \int_{0}^{t} \begin{Vmatrix} c'(u) \end{Vmatrix}\, du =$ $\int_{0}^{t} {\sqrt{4 + 9u^2}} du = \frac{1}{27}(4+9t^2)^{ \frac{2}{3}}= - \frac{8}{27}$

a njena krivina je data sa:

$k\left [c \right ] (t)= \frac{(2, 6 t)(-3t^2,2t)}{\begin{Vmatrix} (2t,3t^2) \end{Vmatrix}^3}= \frac{6}{\mid t \mid (4+9t^2)^{\frac{3}{2}} }$

Polukubna parabola je simetrična u odnosu na y-osu.