definisana je za sve vrijednosti nepoznate velicine x , gdje je n pozitivni cijeli broj i koeficijenti jednacine. Jednacina ima n rjesenja, gdje se rjesenja jednacine nalaze uopsteno u cijeloj kompleksnoj ravnini. Kvadratna jednacina predstavlja poseban slucaj polinomne jednacine gdje je n=2.

Rolleova kaskadna metoda[uredi | uredi izvor]

Nakon dolaska u Pariz, Rolle je riješio problem koji je postavio poznati francuski matematičar Jacques Ozanam (1640. - 1718.) u jednome od izdanja Journal des savants 1682. godine. Formalno zapisan, problem je glasio:

Odrediti brojeve tako da sljedece jednakosti budu zadovoljene:

za neke cijele brojeve

Na prvi pogled, jasno je da je rijec o nimalo lakom problemu iz teorije brojeva. Ozanam je bio uvjerenja da bi najmanji od brojeva koji zadovoljava gornji problem trebao sadržavati barem 50 cifri. Rolle je uspio odrediti cetvorku (x, y, z, w) sedmocifrenih brojeva.

Cilj metode odrediti je korijene jedncine oblika

Osnovni princip metode ilustrirat cemo na primjeru

u tri koraka

I korak[uredi | uredi izvor]

U prvom koraku ideja je transformisati jednacinu tako da koeficijenti polinoma alterniraju u predznaku. Naime, tada Descartesovo pravilo predznaka jamci da su svi realni korijeni polinoma pozitivni. Rolle također definise tri pojma:

  • veliku hipotezu kao gornju granicu svih korijena polinoma.Rolle je tu vrijednost racunao koristeci formulu

a je apsolutna vrijednost najmanjeg negativnog koeficijenta polinoma, a c vodeci koeficijent. U navedenom promjeru je

, .

  • malu hipotezu kao donju granicu svih korijena polinoma

c) medjuhipoteze kao unutrasje granice, tj. korijene prethodne kaskade (III korak.

Rolle je uveo zamjenu varijabli

Koeficienti 1, –269, 27101, –1 211 959, 20 299 110 polinoma g alterniraju u predznaku, tj. imamo 4 promjene u predznaku. Prema Descartesovom pravilu predznaka, zakljucujemo da g moze imati 4, 2 ili ni jedan pozitivni realni korijen. Kako su svi koeficijenti polinoma pozitivnog predznaka znaci da nema negativnih korijena. Znaci mala hipoteza je jednaka 0(nuli. Velika hipoteza iznosi , što znaci da ni jedan korijen od nije veci od .

II korak[uredi | uredi izvor]

U ovom koraku Rolle formira tzv. kaskade

  1. Pomnozi svaki clan jednavine s eksponentom varijable y pa dobijeni clan podijeli s .
  2. Ucini isto s tako dobijenom jednacinom.

Ponavlja postupak dok ne dobijes polinom I stepena


Ovaj posupak cine kaskade, Formiranje kaskada odgovara deriviranju polinoma. Rolle toga u to doba nije bio svjestan. Ovdje ne koristimo notaciju za derivaciju.

III korak )[uredi | uredi izvor]

Rolle je primijetio da ako su, npr a i b (a < b) korijeni kaskade , tada korijen kaskade mora pripadati intervalu . Godinu dana kasnije tu je tvrdnju i dokazao u Demonstration. Vazno je uociti da svaka kaskada ima samo pozitivne korijene (predznaci monoma alterniraju) pa je mala hipoteza svake kaskade jednaka 0. S druge strane, za svaku kaskadu mozemo izracunati i veliku hipotezu koristeći formulu

Kako korijen I kaskade mozemo direktno izracunati (linearni polinom), ideja je krenuti od II kaskade i koristeci gornje razmatranje izolirati korijene preostalih kaskada. Pretpostavimo da smo to ucinili za prve tri kaskade te ustanovili da su korijeni od priblizno jednaki 63, 67 i 71.

Ti brojevi predstavljaju međuhipoteze iduće kaskade . Kako je mala hipoteza od g jednaka 0, a velika data s

Zakljucujemo da se po jedan korijen od nalazi u svakom od intervala , , ( i . Sada na svakome od tih intervala odredimo taj korijen koristeci se jednostavnom metodom raspolavljanja (bisekcije). Kako je , .

Za aritmeticku sredinu brojeva 0 i 63 (bez decimala) vrijedi , to znaci da korijen pripada intervalu . Sada racunamo vrijednost od u

korijen smo izolirali u . Dalje nastavimo analognim zakljucivanjem: , , , .

je trazeni korijen, i to jedini u .

Na isti nacin odredimo korijene u preostala tri intervala , i te dobijamo , , . Korijene polazne jednadžbe dobijamo iz suostitucuje

, , ,

Rolleova teorema[uredi | uredi izvor]

Osnovni princip kaskadne metode zasluzan je za rezultat koji danas znamo kao Rolleova teorema

Neka je diferencijabilna na otvorenom intervalu i neka su , takve da vrijedi . Tada postoji točka c  (a, b) takva da je . Tek 1846. godine gornji rezultat dobio naziv Rolleov teorem, za sta je zasluzan talijanski matematicar Giusto Bellavitis (1803. - 1880.). Rolleov teorem osnovni je alat u dokazu Lagrangeovog teorema srednje vrijednosti.

Izvor[uredi | uredi izvor]

Rolleova kaskadna metoda /Helena Francesevic, Danka Pazanin i Igor Pazanin

PS:

  • Helena Francesevic, studentica PMF-Matematickog odsjeka, Sveucilište u Zagrebu
  • Danka Pazanin, uciteljica matematike i fizike, OS Ivana Filipovica, Zagreb
  • Igor Pazanin, vanredni profesor, PMF-Matematicki odsjek, Sveuciliste u Zagrebu


--Marsovka Marsic (razgovor) 08:44, mart 13, 2016 (KSV)

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.