FANDOM


Uređenu trojku prirodnih brojeva (x, y, z) zovemo Pitagorina trojka ako su x, y katete, a z hipotenuza nekog pravouglog trougla, tj. ako vrijedi

$ x^2 + y^2 = z^2 $

Ako su x, y, z relativno prosti, onda kažemo da je ($ x, y, z) $ primitivna Pitagorina trojka. (Takav trougao zovemo (primitivni) Pitagorin trougao.

U svakoj primitivnoj Pitagorinoj trojki tačno jedan od brojeva x, y je neparan.

Dokaz

Neka su x, y parni. Ako su x, y parni, onda trojka ne moze biti primitivna. Neka su x, y neparni. Tada imamo $ x^2 + y^2\equiv 2 (\bmod 4) $

$ z^2\equiv 0(\bmod 4). $

A to je u kontradikciji.

Postoji jedinstvena Pitagorina trojka

($ n - 1,n,n + 1), n \equiv N,n > 1... $

Dokaz. Prema Pitagorinom teoremu imamo:

$ (n-1)^2 + n^2 = (n + 1)^2. $

Primjenjujući osnovne operacije imamo

$ n^2-2n+1+n^2=n^2+2n+1 $

$ n^2 = 4n, tj. n = 4. $

Jedinstvena Pitagorina trojka oblika $ (n-1, n, n + 1) $ je $ (3, 4, 5) $.

Sve primitivne Pitagorine trojke $ (x, y, z) $ u kojima je y paran, date su formulama

$ x = m^2-n^2, y = 2mn, z = m^2 + n^2 $

gdje je $ m > n $ i $ m, n $ su relativno prosti prirodni brojevi različite parnosti.


Dokaz.

$ x^2+y^2=z^2 $

$ y ^2=(z+x)(z-x) $

brojevi $ z+x, z-x $ su parni [zbir i razlika dva različita neparna broja je paran broj] pa postoje prirodni brojevi a i b takvi da je

$ z + x = 2a, z-x = 2b $

Iz pretpostavke teorema znamo da je y paran tj

$ y = 2c $, c je prirodan broj. Iz

$ x^2+y^2=z^2 $

$ z + x = 2a, z-x = 2b $

proizlazi

$ 4c^2 = 2a*2b=> c^2 = ab $

Iz $ z = a + b, x = a-b, => a i b $ relativno prosti brojevi, pa postoje $ m, n \equiv N, (m, n) = 1, $ takvi da je

$ a = m^2, b = n^2. $

Odavde je $ z = m^2 + n^2, x = m^2-n^2 $

Uzmemo li u obzir

$ c^2 = ab $ i činjenicu

$ a = m^2, b = n^2 $ dobijamo da je

$ c = mn $. Kako je

$ y = 2c =>y = 2mn $ Dokazano je da su sve primitivne Pitagorine trojke $ (x, y, z) $ date formulama

$ z = m^2 + n^2, x = m^2-n^2, y = 2mn $

pri čemu brojevi m i n moraju biti različitih parnosti jer je broj

$ x = m^2-n^2 $ neparan.

Provjerimo da brojevi $ (x, y, z) $ definisani sa $ z = m^2 + n^2, x = m^2 - n^2, y = 2mn, $ zadovoljavaju $ x^2+y^2=z^2 $

$ x^2 + y^2 = (m^ 2- n^2)^2 + (2mn)^2 $

$ = m^4-2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 $

$ = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 $

$ = (m^2 + n^2)^2 $$ = z^2 $


Treba jos provjeriti da su relativno prosti.

Pretpostavimo da je $ (x, z) = d >1 $. Tada je d neparan

$ d =| (m^2 + n^2) + (m^2-n^2) = 2m^2 $ i

$ d =| (m^2 + n^2)-(m^2-n^2) = 2n^2 $

No, ovo je u kontradikciji sa pretpostavkom da su m , n, pa stoga i $ m^2 , n^2 $ relativno prosti.

Pitagorine trojke sa osobinom z − y = 1 mogu se dobiti na jos na neke načine.

Neke Pitagorine trojke oblika (x, y, z) gdje su y i z susjedni brojevi možemo dobiti koristeći sljedeću jednakost (Moessner-ova jednakost)

$ (10n-5)^2 + [50n(n-1) + 12]^2 = [50n(n-1) + 13]^2 $ Zanimljivo je da se uz pomooć kompleksnih brojeva može pronaći po volji mnogo Pitagorinih trojki.

Neka je $ z = -3 + 2i $ pa ga kvadrirajmo. Dobijemo

$ z^2 = 9 - 12i + 4i^2 = 9- 12i - 4 = 5 - 12i $

Apsolutne vrijednosti realnog i imaginarnog dijela kompleksnog broja 5-12i dužine su kateta pravouglog trougla. Vrijedi

$ 5^2 + 12^2 = 13^2 $

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.