Parnost funkcije

Parne i neparne funkcije su matematičke funkcije koje zadovoljavaju određene relacije simetričnosti. Važne su u metematičkoj analizi, posebno u teoriji stepenih redova i Furijeovih redova. Nazvane su po parnosti stepena njihovih stepenih redova koji zadovoljavaju svaki od uslova: funkcija $x^n$ je parna funkcija ako je $n$ paran cio broj, a neparna ako je $n$ neparan ceo broj.

Parna funkcija

Neka je domen funkcije $f$ simetričan po koordinatnom početku. Funkcija $f$ naziva se parna ako je

$f(-x)=f(x)$ za $\forall(x\in D(f))$

Grafik parne funkcije je simetričan prema osi $Oy$.

Primjer parne funkcije je funkcija zadana sa $f(x)=x^2$, čiji je grafik prikazan na narednoj slici: thumb|parna funkcija $x^2$

Neparna funkcija

Neka je domen funkcije $f$ simetričan prema koordinatnom početku. Funkcija $f$ naziva se neparna ako je

$f(-x)=-f(x)$ za $\forall(x\in D(f))$

Grafik neparne funkcije je simetričan prema koordinatnom početku.

Primjer neparne funkcije je funkcija zadana sa $f(x)=x^3$, čiji je grafik prikazan na narednoj slici: thumb|left|neparna funkcija x^3

Trigonometrijska funkcija sinus je također primjer neparne funkcije. </nowiki> je također primjer neparne funkcije.

Neke činjenice

Napomena: parnost funkcije ne implicira diferencijabilnost, niti čak neprekidnost funkcije. Svojstva koja uključuju Furijeove redove, Tejlorove redove, izvode itd. mogu se koristiti samo ako se pretpostavi da oni postoje.

Osnovna svojstva

thumb|funkcija $f(x)=x^3 +1$ nije ni parna ni neparna

• Jedina funkcija koja je u isto vreme i parna i neparna je konstantna funkcija jednaka nuli (tj. $f(x) = 0$ za svako $x$).
• Zbir parne i neparne funkcije nije ni parna ni neparna funkcija, osim ako jedna od te dvije funkcije nije jednaka nuli.
• Zbir dvije parne funkcije je parna funkcija, i rezultat svakog množenja parne funkcije konstantom je takođe parna funkcija.
• Zbir dvije neparne funkcije je takođe neparna funkcija, i rezultat svakog množenja neparne funkcije konstantom je neparna funkcija.
• Proizvod dvije parne funkcije je parna funkcija.
• Proizvod dvije neparne funkcije je parna funkcija.
• Proizvod parne i neparne funkcije je neparna funkcija.
• Količnik deljenja dvije parne funkcije je parna funkcija.
• Količnik dijeljenja dvije neparne funkcije je parna funkcija.
• Količnik dijeljenja parne funkcije i neparne funkcije je neparna funkcija.
• Izvod parne funkcije je neparna funkcija.
• Izvod neparne funkcije je parna funkcija.
• Kompozicija dvije parne funkcije je parna, a kompozicija dvije neparne funkcije je neparna funkcija.
• Kompozicija parne i neparne funkcije je parna funkcija.
• Kompozicija bilo koje funkcije sa parnom funkcijom je parna funkcija (ali ne važi obratno).
• Integral neparne funkcije od $-A$ do $+A$ je nula (gdje je $A$ konačno, a funkcija nema vertikalnih asimptota između $-A$ i $A$).
• Integral parne funkcije od $-A$ do $+A$ je dvostruko veći od integrala od $0$ do $+A$ (gdje je $A$ konačno, a funkcija nema vertikalnih asimptota između $-A$ i $A$).

Redovi

• Meklorenov red parne funkcije uključuje samo parne stepene.
• Meklorenov red neparne funkcije uključuje samo neparne stepene.
• Furijeov red periodične parne funkcije uključuje samo kosinusne članove.
• Furijeov red periodične neparne funkcije uključuje samo sinusne članove.

Algebarske strukture

• Svaka linearna kombinacija parnih funkcija je takođe parna funkcija, i parne funkcije formiraju vektorski prostor nad realnim brojevima. Isto tako, linearna kombinacija neparnih funkcija formira vektorski prostor nad realnim brojevima. U stvari, vektorski prostor svih realnih funkcija je direktna suma linearnih podprostora parnih i neparnih funkcija. Drugim riječima, svaka funkcija se može jedinstveno napisati kao suma parne i neparne funkcije:

$f(x)=f_\mathrm{even}(x)+f_\mathrm{odd}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\,+\,\frac{f(x)-f(-x)}{2} \,$

• Parne funkcije formiraju K-algebru nad realnim brojevima. S druge strane, neparne funkcije ne formiraju K-algebru nad realnim brojevima.