Parne i neparne funkcije su matematičke funkcije koje zadovoljavaju određene relacije simetričnosti. Važne su u metematičkoj analizi, posebno u teoriji stepenih redova i Furijeovih redova. Nazvane su po parnosti stepena njihovih stepenih redova koji zadovoljavaju svaki od uslova: funkcija je parna funkcija ako je paran cio broj, a neparna ako je neparan ceo broj.

Parna funkcija[uredi | uredi izvor]

Neka je domen funkcije simetričan po koordinatnom početku. Funkcija naziva se parna ako je

za

Grafik parne funkcije je simetričan prema osi .

Primjer parne funkcije je funkcija zadana sa , čiji je grafik prikazan na narednoj slici:

parna funkcija

Neparna funkcija[uredi | uredi izvor]

Neka je domen funkcije simetričan prema koordinatnom početku. Funkcija naziva se neparna ako je

za

Grafik neparne funkcije je simetričan prema koordinatnom početku.

Primjer neparne funkcije je funkcija zadana sa , čiji je grafik prikazan na narednoj slici:

neparna funkcija x^3

Trigonometrijska funkcija sinus je također primjer neparne funkcije. </nowiki> je također primjer neparne funkcije.


Neke činjenice[uredi | uredi izvor]

Napomena: parnost funkcije ne implicira diferencijabilnost, niti čak neprekidnost funkcije. Svojstva koja uključuju Furijeove redove, Tejlorove redove, izvode itd. mogu se koristiti samo ako se pretpostavi da oni postoje.

Osnovna svojstva[uredi | uredi izvor]

funkcija nije ni parna ni neparna

  • Jedina funkcija koja je u isto vreme i parna i neparna je konstantna funkcija jednaka nuli (tj. za svako ).
  • Zbir parne i neparne funkcije nije ni parna ni neparna funkcija, osim ako jedna od te dvije funkcije nije jednaka nuli.
  • Zbir dvije parne funkcije je parna funkcija, i rezultat svakog množenja parne funkcije konstantom je takođe parna funkcija.
  • Zbir dvije neparne funkcije je takođe neparna funkcija, i rezultat svakog množenja neparne funkcije konstantom je neparna funkcija.
  • Proizvod dvije parne funkcije je parna funkcija.
  • Proizvod dvije neparne funkcije je parna funkcija.
  • Proizvod parne i neparne funkcije je neparna funkcija.
  • Količnik deljenja dvije parne funkcije je parna funkcija.
  • Količnik dijeljenja dvije neparne funkcije je parna funkcija.
  • Količnik dijeljenja parne funkcije i neparne funkcije je neparna funkcija.
  • Izvod parne funkcije je neparna funkcija.
  • Izvod neparne funkcije je parna funkcija.
  • Kompozicija dvije parne funkcije je parna, a kompozicija dvije neparne funkcije je neparna funkcija.
  • Kompozicija parne i neparne funkcije je parna funkcija.
  • Kompozicija bilo koje funkcije sa parnom funkcijom je parna funkcija (ali ne važi obratno).
  • Integral neparne funkcije od do je nula (gdje je konačno, a funkcija nema vertikalnih asimptota između i ).
  • Integral parne funkcije od do je dvostruko veći od integrala od do (gdje je konačno, a funkcija nema vertikalnih asimptota između i ).

Redovi[uredi | uredi izvor]

  • Meklorenov red parne funkcije uključuje samo parne stepene.
  • Meklorenov red neparne funkcije uključuje samo neparne stepene.
  • Furijeov red periodične parne funkcije uključuje samo kosinusne članove.
  • Furijeov red periodične neparne funkcije uključuje samo sinusne članove.

Algebarske strukture[uredi | uredi izvor]

  • Svaka linearna kombinacija parnih funkcija je takođe parna funkcija, i parne funkcije formiraju vektorski prostor nad realnim brojevima. Isto tako, linearna kombinacija neparnih funkcija formira vektorski prostor nad realnim brojevima. U stvari, vektorski prostor svih realnih funkcija je direktna suma linearnih podprostora parnih i neparnih funkcija. Drugim riječima, svaka funkcija se može jedinstveno napisati kao suma parne i neparne funkcije:
  • Parne funkcije formiraju K-algebru nad realnim brojevima. S druge strane, neparne funkcije ne formiraju K-algebru nad realnim brojevima.
Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.