Definicija 1[uredi | uredi izvor]

Realna funkcija  :  naziva se norma na R2 ako ima  sljedece  osobine:


Za sve i sve Zadajuci neku normu na , postaje normirani prostor.

Primjer norme na je Euklidska norma koja predstavlja duzinu duzine cije su krajnje tacke ( i , tj.

koja predstavlja poseban slucaj p-normi.

Definicija 2[uredi | uredi izvor]

Za svaki realni broj p, definisimo

Funkcija je p- norma na Da bi bili li sigurni da je ovo norma moramo provjeriti da li funkcija zadovoljava uslove iz definicije 1. Osobine (1), (2) i (4) se lako provjere, dok je provjera (3) poznata kao nejednakost trougla, za ovaj dokaz koristi se Youngova nejednakost. Za sve takve da je vrijedi

Teorema 1[uredi | uredi izvor]

Za svaki formulom

Dokaz

Treba dokazati da za svaki vrijedi

tj.

za sve

Za

Za

U nejednakosti

uvrstit cemo izraze za ,

i a zatim

i

dobijamo nejednakosti

dobijamo nejednakosti


saberemo li ih dobijamo  nejednakosti

tj

za svako


Ako uzmemo za i ( za i smatrajuci

Zamjenom uloga x i u , y i v imamo



na osnovu ranijih nejednakosti imamo

odnosno

Dijeljenjem s drugim faktorom s desne strane slijedi


Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.