Matematika Wiki
Advertisement

U geometriji je opisan kružnica oko mnogougla je kružnica koja prolazi kroz sve vrhove mnogougla. Centar ove kružnica nalazi se u presjeku simetrala stranica i njen poluprečnik je rastojanje centra od bilo kog tjemena mnogougla. Mnogougao oko kog je opisana kružnica naziva se tetivni mnogougao. Svi trouglovi i svi pravougaonici kao i ostali pravilni mnogouglovi(petougao, šestougao, osmougao)su tetivni.

Krug opisan oko osmougla.jpg

Ova kružnica je najmanjia kružnica koja u potpunosti sadrži mnogougao u sebi. Oko svakog mnogougla ne može se opisati kružnica, jer svi vrhovi mnogougla ne leže na kružnici. Svaki mnogougao ima jedinstvenu minimalnu graničnu kružnicu, koja se može konstruisati algoritmom u linearnom vremenu. Čak i ako mnogougao ima opisanu kružnicu, ne mora da znači da će da se poklopi sa minimalnum graničnom kružnicim.

Primjer

Kod tupouglog trougla, minimalna granična kružnicu ima najdužu stranu kao prečnik i ne prolazi kroz ostala tjemena.

Kružnica opisana oko trougla[1]

Svi trouglovi su tetivni, odnosno oko svakog trougla može da se opiše kružnica.

Teorema (O centru opisanog kruga)

Simetrale stranica trougla seku se u jednoj tački.

Kružnica opisana oko trougla sa simetralama

Dokaz Neka je zajednička tačka simetrale , stranice i simetrale stranice trougla .

Kako je tačka simetrale , važi jednakost .

Zbog je i , pa slijedi i .

Dakle, trougao je jednakokraki, pa tačka pripada i simetrali duži . Dakle, je zajednička tačka simetrala triju stranica trougla. Sem toga, kako je , to kružnice sa centrom i poluprečnikom sadrži sva tjemena trougla, pa je to opisani a kružnica trougla .

Jednakostranični,jednakokraki i pravougli trouglovi[2]

Jednakostranični trougao

Krug opisan oko jednakostraničnog trougla 2.jpg

Poluprečnik opisane krušnice oko jednakostraničnog trougla jednak je visine tog trougla.

ili

Površina opisane kružnice je .

Jednakokraki trougao

Kod jednakokrakog trougla centar opisane kružnice nalazi se na visini koja odgovara osnovici. Dužina poluprečnika opisane kružnica oko jednakokrakog trougla je jednaka polovini visine osnovice.

Krug opisan oko jenakokrakog trougla i visina.jpg

Površina opisanog kruga je

Pravougli trougao

Krug opisan oko pravouglog trougla1.jpg


Prečnik je jefnak polovini i dužine hipotenuze.

Površina opisane kružnice je

Položaj u odnosu na trougao

Ako je trougao oštrougli (svi uglovi su manji od pravog ugla), centar opisane kružnice nalazi se unutar trougla.

Ako je trougao tupougli (ima jedan ugao koji je veći od pravog ugla), centar opisane kružnice leži izvan trougla.

Ako je pravougli trougao, centar opisane kružnice nalazi se na sredini hipotenuze. Ovo potvrđuje Talesova teorema.

Baricentričke koordinate

Centar kružnicw ima baricentričke koordinate

,[3], gdje su dužine stranica () trougla.

U odnosu na unutrašnje uglove trougla ,,, baricentrične koordinate centra opisane kružnica su [4]:

.

Primjena sinusne i kosinusne teoreme[5]

Stranice trougla proporcionalne su sinusima njima naspramnih uglova. Odnos dužine stranica i sinusa naspramnog ugla trougla je konstanta i jednak je dužini prečnika kružnice opisane oko trougla.

Dokaz'

Neka je kružnica koja je opisana oko trougla .

Ako je prečnik,tada iz pravouglog trougla imamo .

Uglovi i su jednaki ili suplementni,kao periferijski uglovi nad istim lukom ,pa je i , dakle sledi

Kružnica opisana oko četvorougla

Četvorougli opisani krugom.jpg

Oko četverougla može se opisati kružnica ako i i samo ako se simetrale sve četiri stranice sijeku u jednoj tački i oni imaju posebne osobine, uključujući činjenicu da se naspramni uglovi dopunjuju (zbir naspramnih uglova jednak je ravnom uglu).

Kružnica se može opisati oko kvadrata, pravougaonika ili jednakokrakog trapeza. Oko paralelograma, romba ili trapeza u opštem slučaju to nije moguće zato što su kod paralelograma koji nije kvadrat ili pravougaonik simetrale naspramnih stranica paralelne.

Četvorouglovi oko kojih može da se opiše kružnica nazivamo tetivnim. Ime dolazi odatle što su stranice takvih četvorouglova tetive opisane kružnice.

Za tetivni četverougao važi

  1. Četvorougao je tetivan ako i samo ako se simetrale njegove tri stranice sijeku u jednoj tački.
  2. Četvorougao je tetivan ako i samo ako je zbir svaka dva naspramna ugla jednak 1
  3. Četvorougao je tetivan ako i samo ako je spoljašnji ugao kod jednog vrha podudaran sa unutrašnjim uglom kod njemu dijagonalnog vrha.
  4. Četvorougao je tetivan ako i samo ako mu se svaka stranica vidi iz preostala dva tjemena pod podudarnim uglovima.

Površina opisanog kruga je

. , ,, .

Površina opisanog kruga je

H - visina trapeza

'R - poluprečnik opisanog kruga

AB - polovina veće osnovice

DM - polovina manje osnovice

Iz podudarnosti slijedi:

.

.

pravougaonik

gdje je dijagonala može da se izrazi preko stranica pravougaonika: .

Površina opisane kružnice je

Reference

  1. Kadelburg 2007, стр. 137.
  2. Đorić,D.,Jovanov,Đ.,Lazović,R.(2014)"Matematika za prijemni ispit na tehničkim i prirodno matematičkim fakultetima",Beograd;str.141
  3. Baricentričke koordinate na sajtu Wolfram
  4. Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangles http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
  5. Kadelburg 2007, стр. 200.


Advertisement