Matrica je pravougaona tabela brojeva, ili zopšteno, tabela koja se sastoji od apstraktnih objekata koji se mogu sabirati i množiti.

Matrice se koriste za opisivanje linearnih jednačina, za praćenje koeficijenata linearnih transformacija, kao i za čuvanje podataka koji zavise od dva parametra. Matrice se mogu sabirati, množiti i razlagati na razne načine, što ih čini ključnim konceptom u linearnoj algebri i teoriji matrica.

Organizacija matrice

Definicije i notacije[uredi | uredi izvor]

Horizontalne se linije u matrici zovu redovi, a vertikalne kolone matrice. Matrica sa reda i kolona naziva se   m-sa-n  matricom (kaže se i zapisuje da je formata ) a m i su dimenzije matrice.

Član matrice koji se nalazi u -tom redu i -toj koloni je -ti član matrice . Ovo se zapisuje kao ili . Uvijek se prvo naznačuje red pa kolona.

Često se piše kako bi se definisala matrica čiji se svaki član naziva za sve i . Međutim, konvencija da i počinju od nije univerzalna: neki programski jezici počinju od nule, u kom slučaju imamo i

Matricu čija je jedna od dimenzija jednaka jedinici često nazivamo vektorom, i interpretiramo je kao element realnog koordinatnog prostora. matrica (jedan red i n kolona) se naziva vektor red, a matrica (jedna kolona i m redova) se naziva vektor kolone.

Matrice imaju oblik

Za matricu koja ima redova i kolona, kaže se da je tipa .

Za matricu koja je tipa kažemo da je pravougaona matrica.

Za matricu kod koje je broj redova jednak broju kolona tj , kažemo da je kvadratna matrica reda .

Elementi kvadratne matrice (reda n) čine glavnu diagonalu matrice.

Matrica se označava sa

Primjer

Matrica

je 4×3 matrica. Element A[2,3] ili a2,3 je 7.

Matrica

je 1×9 matrica, ili vektor reda sa 9 elemenata.

Kvadratna matrica kod koje su svi elementi ispod ili iznad glavne diagonale jednaki nuli je trouglasta matrica Može biti gornja trouglasta ako je za i donja trouglasta ako je za

Kvadratna matrica, čiji su svi elementi van glavne diagonale jednaki nuli zove se diagonalna matrica. za

Vrsta matrice matrica reda
Diagonalna matrica
donja trouglasta matrica
gornja trouglasta matrica

Diagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj diagonali međusobno jednaki, naziva se skalarna matrica.

Diagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj diagonali jednaki jedinici, naziva se jedinična matrica (ili identična matrica) i obiljeležava se sa I tj

Primjer

je jedinična matrica tipa

Matrica je podmatrica ili submatrica matrice , ako izostavljanjem nekih vrsta i kolona matrice možemo dobiti matricu .

Neka je matrica tipa komatrica matrice A je njena podmatrica koja nastaje uklanjanjem i-tog reda i j-te kolone matrice A i obilježavamo je sa .

Sabiranje i množenje matrica[uredi | uredi izvor]

Sabiranje[uredi | uredi izvor]

Ako su dane matrice i , dimenzija m-sa-n, njihov zbir je m-sa-n matrica, izračunata sabiranjem odgovarajućih elemenata (t.j. .

Primjer
Primjer

Neka je

Osobine
  1. komutativnost
  2. asocijativnost

Množenje skalarom[uredi | uredi izvor]

Ako uzmemo matricu i broj , skalarni proizvod se računa množenjem skalarom svakog elementa (tj. .

Primjer

Operacije sabiranja i množenja skalarom pretvaraju skup svih m-sa-n matrica sa realnim članovima u realni vektorski prostor dimenzije .

Osobine
  1. <

Množenje matrica[uredi | uredi izvor]

Množenje dvije matrice je dobro definisano samo ako je broj kolona lijeve matrice jednak broju reda desne matrice. Ako je matrica dimenzija m-sa-n, a je matrica dimenzija n-sa-p, tada je njihov proizvod matrica dimenzija m-sa-p dat formulom:

za svaki par i .

Na primjer:

Množenje matrica ima sljedeće osobine:

  • za sve k-sa-m matrice , m-sa-n matrice i n-sa-p matrice (asocijativnost).
  • za sve m-sa-n matrice i i n-sa-k matrice (desna distributivnost).
  • za sve m-sa-n matrice i i k-sa-m matrice (lijeva distributivnost).
  • (

Komutativnost ne vrijedi u opštem slučaju ako su date matrice i , ako su oba faktora definisana, u opštem slučaju je .

Posebno, skup svih kvadratnih matrica reda je realna asocijativna algebra sa jedinicom, koja je nekomutativna za .

Stepenovanje matrica[uredi | uredi izvor]

Po definiciji je

Transponovana matrica[uredi | uredi izvor]

Transponovana matrica matrice

je matrica oblika tj

Primjer

Ako je

onda je

Kvadratna matrica je: simetrična tj odosno za sve antisimetrična

tj za sve . Tada je i za sve

Osobine transponiranja[uredi | uredi izvor]

  1. (

Inverzna matrica[uredi | uredi izvor]

Ako za matricu postoji matrica takva da je onda je inverzna matrica . Inverzna matrica definisaana je samo za (neke) kvadratne matrice i pri tome vrijedi ako je ranga onda je i ramga . Ako kvadratna matrica ima inverznu, nazivamo je regularna. U protivnom je singularna.

Ako postoji inverzna matrica, ona je jedinstvena. Odnosno Ako su i inverzne matrice od onda je

Osobine[uredi | uredi izvor]

Jednakost matrica[uredi | uredi izvor]

Matrice i su jednake ako i samo ako su istog reda i svi odgovarajući elementi su im međusobno jednaki.

asdasdasd

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

  1. 6. LINEARNA ALGEBRA( 6.1 Matrice)
  2. Matrice
  3. Matrice
Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.