I danas mnogi matematičari smatraju da je broj ne samo povijesni začetak matematike već i njena najdublja osnova. Čak je i primitivni čovjek bio primoran da broji ljude u svojoj grupi, predmete koje posjeduje, stada, neprijatelje itd. Stari ,,problem” što je starije, kokoš ili jaje, ostavljamo filozofima.

Prirodni brojevi[uredi | uredi izvor]

Od djetinjstva nas prate tzv. prirodni brojevi Skup svih prirodnih brojeva označavamo s , tj.

Prirodne brojeve znamo zbrajati i množiti, a rezultat tih računskih operacija je opet prirodan broj pa kažemo da je skup zatvoren s obzirom na te operacije.

Poznato je da su stari Egipćani i Babilonci (3000 god.pr.n.e) znali zbrajati i množiti prirodne brojeve. Dijeljenje nisu poznavali premda su u izvjesnom smislu koristili razlomke.

Sa skupom prirodnih brojeva i nekim njegovim svojstvima upoznali ste se u osnovnoj i srednjoj ˇskoli. Sve to je bilo prirodno i razumljivo, ali ne i aksiomatski utemeljeno. Čitava stvar se može aksiomatizirati, tj. izložiti sustav aksioma koji u cjelosti karakterizira skup N i omogučava aksiomatsku izgradnju algebre prirodnih brojeva. To je 1889. učinio talijanski matematičar G. Peano (1858 – 1931). Mi navodimo samo onaj Peanov aksiom na kome se bazira važna metoda dokazivanja poznata pod nazivom matematička ili potpuna indukcija.

Peanov aksiom:

Ako je podskup od i ako vrijedi: (i) (ii) onda je .

Neka je tvrdnja koja ovisi o prirodnom broju i skup svih prirodnih brojeva za koje je tvrdnja istinita. Kao posljedicu Peanovog aksioma dobivamo:

Princip matematičke indukcije
Ako za tvrdnju (koja ovisi o prirodnom broju n) vrijedi
(i)Tvrdnja je istinita,
(ii)Iz istinitosti tvrdnje proizlazi istinitost tvrdnje ,
onda je tvrdnja istinita za svaki prirodni broj .

U sljedećim primjerima M označava skup svih prirodnih brojeva za koje jetvrdnja istinita.

Primjer 1.1 Pokažimo metodom matematičke indukcije da vrijedi

Budući da je , skupu M pripada broj 1. Pretpostavimo da skupu M pripada broj n, tj. da je

i dodajmo lijevoj i desnoj strani prirodni broj . Dobivamo:

tj. skupuM pripada pa je prema principu matematičke indukcije , tj. tvrdnja je istinita za svaki .

Primjer 1.2

Dokažimo da za svaki realan i za svaki prirodni broj n vrijedi Bernoullijeva nejednakost:

.

Iz slijedi 1 slijedi .

Neka je , tj. . Prema pretpostavci je pa je , odakle je (zbog ) . Dakle . Prema principu matematičke indukcije je . Dakle, nejednakost vrijedi za svaki .

Često je potrebno pokazati da je tvrdnja istinita, ne za svaki prirodni broj n, većza sve cijele brojeve n koji su veći ili jednaki od cijelog broja . I u ovom slučaju vrijedi gore navedeni princip matematičke indukcije ako se uvjet (i) zamijeni uvjetom:

Tvrdnja je istinita


Primjer 1.3

Pokažimo matematičkom indukcijom da je broj djeljiv s 3 [2] za

, pa je tvrdnja istinita za . Pretpostavimo da je broj djeljiv s 3, tj. da postoji prirodni broj k takav da je , i pokažimo da je tada i broj djeljivs 3.

. Iskoristimo li induktivnu pretpostavku dobivamo

,

odakle zaključujemo da je djeljiv s 3.

Primjer 1.4 Pokažimo da za svaki prirodni broj vrijedi .

Za n = 3 je .

Neka je i . Iz te pretpostavke dobivamo: ,


pa je tvrdnja istinita za svaki prirodni broj .

Zadaci za vježbu 1.1

Dokazati metodom matematičke indukcije da su sljedeće tvrdnje točne za svaki prirodni broj n:

,

,

,

,


),

,


,




[1] Početno slovo lat. riječi naturalis = prirodan. [2]Kažemo da je a djeljiv s b ako postoji cijeli broj k takav da je .

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.