Logaritam

Jost Birgi, švicarski proizvođač satova je prvi primijetio logaritme. Metodu prirodnog logaritma je prvi predložio 1614 John Napier u svojoj knjizi Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Ova metoda doprinijela je napretku nauke, a posebno astronomiji. logaritmi su učinili mogučim neka izračunavanja koja do tad nisu bila moguća. Sve do upotrebe računara u nauci, ova metoda je korištena u svim granama praktične matematike. Pored svoje upotrebe u računima, logaritmi su popunili važno mjesto u višoj, teorijskoj matematici.

U početku, Napier je logaritme zvao "umjetnim brojevima", a antilogaritme "prirodnim brojevima". Kasnije, Napier je stvorio riječ logaritam, zvučnu kovanicu koja je trebala označiti odnos: λoγoς (logos) i αριθμoς (arithmos) što predstavlja broj. Termin antilogaritam je uveden pred kraj XVII vijeka, iako se nikada nije pretjerano koristio u matematici, postojao je u tablicama dok nije izašao iz upotrebe.

Negativni logaritam se piše kao $n=-logbx$ primjer njegove upotrebe je u hemiji gdje predstavlja koncentraciju protona (pH).

Antilogaritam se koristi da označi funkciju inverznu logaritmu (eksponencijalna funkcija, odnosno stepenovanje). Piše se kao antilogb(n) i znači isto što i $b^n$.

Dvostruki logaritam jeinverzna funkcija dvostruke eksponencijalne funkcije. Superlogaritam ili hiperlogaritam je inverzna funkcija supereksponencijalne funkcije. Superlogaritam za x raste sporije i od dvostrukog logaritma za veliko x.

Diskretni logaritam se spominje u teoriji konačnih grupa. Vjeruje se da je za neke konačne grupe diskretni logaritam teško izračunati, dok je diskretne eksponencijale lako izračunati. Ova asimetrija ima primjene u kriptografiji.

Definicija logaritma:

$log_{a}x=b<=>a^{b}=x(a>0,a\neq 1ix>0)$

Pravila logaritmovanja

Neka je $a>0,a\neq 1$ $m\in R,n\in N$ za $x>0y>0$

važi

logaritam proizvoda

$log_{a}xy=log_{a}x+log_{a}y$

logaritam količnika

$log_{a}{\frac {x}{y}}=log_{a}x-log_{a}y$ logaritam stepena

$log_{a}x^{n}=nlog_{a}x$

logaritam korjena

$log_{a}{\sqrt[{n}]{x}}={\frac {1}{n}}log_{a}x$

Osobine logaritama

$a^{log_{a}x}=x$ za $a>0,a\neq 1,x>0$

$log_{a}1=0$ za $a>0,a\neq 1$

$log_{a}a=1$ za $a>0,a\neq 1$

$log_{a^{s}}x={\frac {1}{s}}log_{a}x$ za $a>0,a\neq 1,s\in R,s\neq 0,x>0$

$log_{a^{n}}b^{n}=log_{a}b$ za $a>0,a\neq 1,s\in Rmx>0$

$log_{a}b={\frac {1}{log_{b}a}}$ za $a>0,b>0,a\neq 1,b\neq 1$

$log_{a}b={\frac {log_{c}a}{log_{c}b}}$ za $a>0,b>0,c>0,a\neq 1,c\neq 1$

Logaritam po bazi e (Eulerov broj) zovemo prirodnim logaritmom i pišemo kao ln umjesto log.

$lne^{2}=2lne=2*1=2$