Matematika Wiki
Advertisement

Linearna jednačina je najjednostavnija jednačina oblika:

gdje rješenje linearne jednačine po nepoznatoj veličini predstavlja nultačku linearne funkcije:

Njen grafički prikaz je prava, iz čeg proizlazi naziv linerna jednačina. Uz pojam linearne jednačine vezan je i pojam sistema linearnih jednačina s dvije, tri ili  više nepoznatih i isto toliko jednačina koje nisu u kolinearnom odnosu. Sistem jednačina od dvije, tri i 4 nepoznatih rješavaju se klasičnom metodom supstitucije ili nekom drugom sličnom metodom, dok sistem s većim brojem nepoznatih rješavamo metodom determinanti ili uz pomoč matrica.

Linearnu jednačinu oblika

rješavamo tako što obe strane jednačine podijelimo sa a  i tako se rješavamo koeficienta uz nepoznatu x.

ovo je rješenje ove jednačine.


Sistem jednačina

Dvije jednačine sa dvije nepoznate kod kojih su rješenja tih nepoznatih ista čine sistem jednačina. Pod sistemom od dvije linearne jednačine sa dvije nepoznate, x i y, podrazumjeva se:

Ovo je takozvani prost sistem, gdje su dati realni brojevi (ponekad i parametri). Rješenje sistema je uređeni par brojeva , za koji važi da je:

a

Ukoliko u zadatku nije dat sistem u opštem obliku, potrebno ga je ekvivalentnim transformacijama svesti na taj oblik. U tom smislu, treba obratiti pažnju da se iste nepoznate uvijek pišu jedne ispod drugih radi preglednosti i lakšeg snalaženja u sistemu. Tipovi ekvivalentnih transformacija za jednakost A = B su:

1) ,

2)

3)

4)

Sistemi jednačina mogu se riješiti pomoću više metoda: zamjena, suprotni koeficijenti, grafički, determinante itd. Sve metode dovode do istog rješenja, a koja će se od njih koristiti zavisi od postavke zadatka (treba izabrati onu metodu koja se u datom zadatku učini najpogodnijom za rješavanje).

Sistemi jednačina kod kojih postoji samo jedno rješenje (tj. jedan uređeni par rješenja) nazivaju se određeni sistemi. Osim njih postoje i neodređeni sistemi (sistemi koji imaju beskonačno mnogo rješenja) i kontradiktorni (nemogući) sistemi (sistemi koji nemaju nijedno rešenje).

Metoda zamjene

Postupak: izabrati jednu od dvije date jednačine i iz nje izraziti jednu od nepoznatih preko druge nepoznate, a zatim tu nepoznatu u drugoj jednačini zamjeniti dobijenim izrazom. Na taj način dobija se jedna jednačina sa jednom nepoznatom.

Primjeri:

1. Zadatak

U jednoj od jednačina treba izraziti jednu nepoznatu preko svega ostalog. Druga jednačina se samo prepiše. U ovom slučaju, najlakše je izraziti x iz prve jednačine.

Sada se prva jednačina prepisuje, a u drugoj umjesto nepoznate x stavlja ono što je jednako x, a to je u ovom slučaju . Na taj način druga jednačina postaje jednačina sa jednom nepoznatom, pa je lako izračunati tu nepoznatu.

Izraz koji mijenja x je stavljen u zagradu jer se čitav taj izraz množi brojem 2, koji stoji uz x. Ostatak zadatka je običan račun.

Sada treba u prvoj jednačini umjesto y napisati dobijeni broj i izračunati drugu nepoznatu, tj. x.

tj.

Rješenje sistema jednačina je uređeni par brojeva: .

Provjera:

Zamjenom ova dva rješenja u obe jednačine sistema dobijaju se dobre jednakosti.

2. Zadatak

4x+2y=-2

6x+3y=-3

U jednoj od jednačina treba izraziti jednu nepoznatu preko svega ostalog. Druga jednačina se samo prepiše. U ovom slučaju, najlakše je izraziti y iz druge jednačine.

Sada se druga jednačina prepisuje, a u prvoj umjesto nepoznate y stavlja ono što je jednako y, a to je u ovom slučaju . Na taj način prva jednačina postaje jednačina sa jednom nepoznatom, pa je lako izračunati tu nepoznatu.

Izraz koji mijenja y je stavljen u zagradu jer se čitav taj izraz množi brojem 4, koji stoji uz y. Ostatak zadatka je običan račun.

)

Sada treba u drugoj jednačini umesto x napisati dobijeni broj i izračunati drugu nepoznatu, tj. y.

Rešenje sistema jednačina je uređeni par brojeva: (x, y) = (−2, 3).

Provkera:

Zamenom ova dva rešenja u obe jednačine sistema dobijaju se dobre jednakosti.

2 ∙ (−2) + 4 ∙ 3 = 8

5 ∙ (−2) + 3 = −7 −4 + 12 = 8

−10 + 3 = −7

8 = 8

−7 = −7

Metoda suprotnih koeficijenata

Neka je zadan sistem jednacina s dvije nepoznate

2x+3y= 8

4x+5y=14

- Korak 1:

Pomnozimo prvu jednacinu sa -4/2

Sistem sad izgleda ovako: -4x-6y=-16

4x+5y=14

- Korak 2:

PRIBROJIMO li gornju jednacinu donjoj, sistem ce izgledati ovako: -4x-6y=-16

0x-y=-2

dobili smo -y=-2 => y=2

- Korak 3:

4x+10=14

4x=4=> x=2

Postupak: pomnožiti jednačine odgovarajućim brojem kako bi koeficijenti ispred jedne od nepoznatih u obe jednačine bili isti brojevi, ali sa suprotnim znacima. Zatim sabrati date jednačine.

Savjet: izabrati nepoznatu ispred koje su koeficijenti (brojevi) “laki” za račun.

Primjeri:

2x + 3y = 34

8x − 6y = −8

Potrebno je da ispred jedne nepoznate budu isti brojevi, ali sa suprotnim znacima. U ovom slučaju, najbolje je prvu jednačinu pomnožiti brojem 2 (tako se uz y dobijaju brojevi 6, odnosno −6).

2x + 3y = 34 /∙2

8x − 6y = −8

4x + 6y = 68

8x − 6y = −8

Sada treba sabrati ove dvije jednačine i izračunati nepoznatu x.

12x + 0y = 60

12x = 60

x = 60/12

x = 5

Kada se nađe jedno rješenje, treba se vratiti u jednu jednačinu (bilo koju) da bi se našlo drugo rješenje.

2x + 3y = 34

2 ∙ 5 + 3y = 34

3y = 34 − 10

3y = 24

y = 24/3

y = 8

Rješenje sistema jednačina je uređeni par brojeva: (x, y) = (5, 8).

Provjera:

Zamjenom ova dva rješenja u obe jednačine sistema dobijaju se dobre jednakosti.

2 ∙ 5 + 3 ∙ 8 = 34

8 ∙ 5 − 6 ∙ 8 = −8 10 + 24 = 34

40 − 48 = −8

34 = 34

−8 = −8

2. Zadatak

5x + y = −1

10x − 2y = 2

Prva jednačina množi se sa −2.

5x − y = −1 /∙(−2)

10x − 2y = −2

−10x + 2y = 2

10x − 2y = −2

Sada se jednačine sabiraju.

0x + 0y = 0

0 = 0

Ovo znači da je sistem jednačina neodređen, odnosno da ima beskonačno mnogo rešenja. Da bi se ta rešenja opisala, iz jedne od jednačina treba izraziti x ili y, zavisno od toga šta je lakše.

5x + y = −1

y = −1 − 5x

Sada su rešenja: (x, y) = (x, −1 − 5x); x ∈ R.

3. Zadatak

9x + 15y = 6

−9x − 15y = 12

Jednačine se odmah sabiraju.

0x + 0y = 18

0 = 18

Ovo znači da je sistem jednačina nemoguć, odnosno da nema rešenja.

4. Zadatak

ax − 10y = 15a

2ax + 5y = 5a

U ovom zadatku postoji parametar a. Postupak je isti.

ax − 10y = 15a

2ax + 5y = 5a /∙(−2)

ax − 10y = 15a

4ax + 10y = 10a

Sada se jednačine sabiraju i izračunava nepoznata x.

5ax + 0y = 25a

5ax = 25a

x = 25a/5a

x = 5

Napomena: a može da se skrati samo ako je a ≠ 0 (to je uslov).

Sada se x zamjeni u jednoj od jednačina (bilo kojoj) da bi se našlo y.

ax − 10y = 15a

5a − 10y = 15a

−10y = 15a − 5a

−10y = 10a

y = 10a/(−10)

y = −a

Rješenja su: (x, y) = (5, −a), uz uslov a ≠ 0.

Šta se dešava ako je a = 0?

Kada se ta vrijednost zamjeni u početni sistem jednačina, dobija se:

ax − 10y = 15a

2ax + 5y = 5a

0x − 10y = 15 ∙ 0

0x + 5y = 5 ∙ 0

−10y = 0

5y = 0

Ovde se vidi da je y = 0, a x može biti bilo koji broj. To znači da je sistem neodređen, odnosno da ima beskonačno mnogo rešenja (y = 0, x ∈ R).

Grafička metoda

Postupak: nepoznate u svakoj od jednačina sistema su linearno zavisne, pa se svaka od njih može predstaviti grafički. To znači da je potrebno konstruisati grafike (prave) za svaku od datih jednačina.

Savjet: radi jednostavnijeg konstruisanja grafika, nepoznatu y treba izraziti iz datih jednačina.

Primeri:

grafik

1. Zadatak

2x + 3y = 5

3x + y = −3

Prvo se iz prve jednačine izrazi y.

2x + 3y = 5

3y = −2x + 5

y = −2x/3 + 5/3

Sada se za najmanje dvije vrijednosti x izračuna vrijednost y, što se, najčešće, daje u vidu tabele. Potom se nacrta grafik za prvu jednačinu.


http://www.opsteobrazovanje.in.rs/matematika/osnovna-skola/sistem-linearnih-jednacina-sa-dve-nepoznate/

Advertisement