Kvadratura parabole.jpg

Najraniji zabilježeni primjer konvergentnog geometrijskog reda čiji je zbir bio poznat je red

Ovaj red je koristio Arhimed (oko 225.god. pne) u svojoj kvadraturi parabole. Arhimed metodom beskrajnog uzastopnog približavanja dolazi do površine (do takozvane kvadrature) odsječka parabole. Ta metoda je dobila svu svoju vrijednost tek pronalaskom infinitezimalnog (diferencijalnog i integralnog) računa. Beskrajnim približavanjem dolazimo do tzv. graničnih vrijednosti , a pojam granične vrijednosti ili granice je osnovni stub infinitezimalnog računa i uopšte više matematike. U tim stvarima Arhimed je jedan od prethodnika infinitezimalnog računa.

Evo kako on dolazi do kvadrature parabole. Da bi dobio površinu odsječka omeđenog tetivom , Arhimed povuće prvo duž kroz središte M tetive , paralelno osi parabole. Označimo površinu trougla slovom . Ona se lako izračunava čim su date tačke P i Q na paraboli. Ako na tetivama i sagradimo analogno trouglove i , polazeći od središta i tih tetiva, imamo dva nova trougla, oba manja od prvoga. Jednostavnim geometrijskim posmatranjem nalazimo da je površina svakog od ta dva trougla

Da bi dobio površinu odsječka parabole Arhimed nastavlja zapocčto raspolovljavanje tetiva beskrajno i dobija tako, između lukova parabole i dvaju trouglova i , prvo četiri još manja trougla kojima je ukupna površina, kao što se odmah uviđa, opet četvrtina površine prethodna dva trougla, tj.

Zatim dobija osam još manjih trouglova s ukupnom površinom

To je geometrijski red (beskrajne zbirove nazivamo redovima, a članovi tog reda sačinjavaju geometrijsku progresiju) i imamo da je

pa je

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.