Kvadratura parabole

Najraniji zabilježeni primjer konvergentnog geometrijskog reda čiji je zbir bio poznat je red

$1+{\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4^{2}}}+...={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}})={\frac {4}{3}}$

Ovaj red je koristio Arhimed (oko 225.god. pne) u svojoj kvadraturi parabole. Arhimed metodom beskrajnog uzastopnog približavanja dolazi do površine (do takozvane kvadrature) odsječka parabole. Ta metoda je dobila svu svoju vrijednost tek pronalaskom infinitezimalnog (diferencijalnog i integralnog) računa. Beskrajnim približavanjem dolazimo do tzv. graničnih vrijednosti , a pojam granične vrijednosti ili granice je osnovni stub infinitezimalnog računa i uopšte više matematike. U tim stvarima Arhimed je jedan od prethodnika infinitezimalnog računa.

Evo kako on dolazi do kvadrature parabole. Da bi dobio površinu odsječka omeđenog tetivom $PQ$, Arhimed povuće prvo duž $MV$ kroz središte M tetive $PQ$, paralelno osi parabole. Označimo površinu trougla $PQR$ slovom $\bigtriangleup$. Ona se lako izračunava čim su date tačke P i Q na paraboli. Ako na tetivama $PV$ i $QV$ sagradimo analogno trouglove $PVV_{1}$ i $QVV_{1}$, polazeći od središta $M_1$ i $M_2$ tih tetiva, imamo dva nova trougla, oba manja od prvoga. Jednostavnim geometrijskim posmatranjem nalazimo da je površina svakog od ta dva trougla ${\frac {\bigtriangleup }{8}}$

Da bi dobio površinu odsječka parabole Arhimed nastavlja zapocčto raspolovljavanje tetiva beskrajno i dobija tako, između lukova parabole i dvaju trouglova $PVV_{1}$ i $QVV_{1}$, prvo četiri još manja trougla kojima je ukupna površina, kao što se odmah uviđa, opet četvrtina površine prethodna dva trougla, tj.

${\frac {1}{4}}{\frac {\bigtriangleup }{8}}={\frac {1}{16}}$

Zatim dobija osam još manjih trouglova s ukupnom površinom

${\frac {1}{4}}{\frac {\bigtriangleup }{16}}={\frac {1}{64}}$

To je geometrijski red (beskrajne zbirove nazivamo redovima, a članovi tog reda sačinjavaju geometrijsku progresiju) i imamo da je

$1+{\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4^{2}}}+...={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}})={\frac {4}{3}}$

pa je

$S={\frac {4\bigtriangleup }{3}}$