Najraniji zabiljezeni primjer konvergentnog geometrijskog reda ciji je zbir bio poznat je red

Ovaj red je koristio Arhimed (oko 225.god. pne) u svojoj kvadraturi parabole. Arhimed metodom beskrajnog uzastopnog priblizavanja dolazi do povrsine (do takozvane kvadrature) odsjecka parabole. Ta metoda je dobila svu svoju vrijednost tek pronalaskom infinitezimalnog (diferencijalnog i integralnog) racuna. Beskrajnim priblizavanjem dolazimo do tzv. granicnih vrijednosti , a pojam granicne vrijednosti ili granice je osnovni stub infinitezimalnog racuna i uopste vise matematike. U tim stvarima Arhimed je jedan od prethodnika infinitezimalnog racuna.

Evo kako on dolazi do kvadrature parabole. Da bi dobio povrsinu odsjecka omedjenog tetivom , Arhimed povuce prvo duz kroz srediste M tetive , paralelno osi parabole. Oznacimo povrsinu trougla slovom . Ona se lako izracunava cim su date tacke P i Q na paraboli. Ako na tetivama i sagradimo analogno trouglove i , polazeci od sredista i tih tetiva, imamo dva nova trougla, oba manja od prvoga. Jednostavnim geometrijskim posmatranjem nalazimo da je povrsina svakog od ta dva trougla

11.jpg

Da bi dobio povrsinu odsjecka parabole Arhimed nastavlja zapoceto raspolovljavanje tetiva beskrajno i dobija tako, izmedju lukova parabole i dvaju trouglova i , prvo cetiri jos manja trougla kojima je ukupna povrsina, kao sto se odmah uvidja, opet cetvrtina povrsine prethodna dva trougla, tj.

Zatim dobija osam jos manjih trouglova s ukupnom povrsinom


To je geometrijski red (beskrajne zbirove nazivamo redovima, a clanovi tog reda sacinjavaju geometrijsku progresiju) i imamo da je

pa je

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.