Najraniji zabiljezeni primjer konvergentnog geometrijskog reda ciji je zbir bio poznat je red

Ovaj red je koristio Arhimed (oko 225.god. pne) u svojoj kvadraturi parabole. Arhimed metodom beskrajnog uzastopnog priblizavanja dolazi do povrsine (do takozvane kvadrature) odsjecka parabole. Ta metoda je dobila svu svoju vrijednost tek pronalaskom infinitezimalnog (diferencijalnog i integralnog) racuna. Beskrajnim priblizavanjem dolazimo do tzv. granicnih vrijednosti , a pojam granicne vrijednosti ili granice je osnovni stub infinitezimalnog racuna i uopste vise matematike. U tim stvarima Arhimed je jedan od prethodnika infinitezimalnog racuna.

Evo kako on dolazi do kvadrature parabole. Da bi dobio povrsinu odsjecka omedjenog tetivom , Arhimed povuce prvo duz kroz srediste M tetive , paralelno osi parabole. Oznacimo povrsinu trougla slovom . Ona se lako izracunava cim su date tacke P i Q na paraboli. Ako na tetivama i sagradimo analogno trouglove i , polazeci od sredista i tih tetiva, imamo dva nova trougla, oba manja od prvoga. Jednostavnim geometrijskim posmatranjem nalazimo da je povrsina svakog od ta dva trougla

thumb|left

Da bi dobio povrsinu odsjecka parabole Arhimed nastavlja zapoceto raspolovljavanje tetiva beskrajno i dobija tako, izmedju lukova parabole i dvaju trouglova i , prvo cetiri jos manja trougla kojima je ukupna povrsina, kao sto se odmah uvidja, opet cetvrtina povrsine prethodna dva trougla, tj.

Zatim dobija osam jos manjih trouglova s ukupnom povrsinom


To je geometrijski red (beskrajne zbirove nazivamo redovima, a clanovi tog reda sacinjavaju geometrijsku progresiju) i imamo da je

pa je

Kategorija:Geometrija

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.