Kvadratni korijen iz 5

Kvadratni korjen od 5 je pozitivni realan broj , koji kada se pomnoži sa samim sobom, daje prost broj 5. Ovaj broj pojavljuje se u formuli za zlatni rez. Može se označiti u iracionalnom obliku kao:

${\displaystyle {\sqrt {5}}.\,}$

On je iracionalni algebarski broj. Prvih šezdeset značajnih decimala njegovog decimalnog proširenja su:

2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089...[[1]]

što se može zaokružiti na 2,236 sa tačnošću od 99,99%. Od aprila 1994. godine, njegova numerička vrijednost u decimalama izračunata je na najmanje jedan milion decimala.[[2]]

Neprekidni razlomak[]

Ovaj broj može se izraziti kao neprekidni razlomak [2; 4, 4, 4, 4, 4...] [[3]].

Niz najboljih racionalnih aproksimacija je:

{\color{red}{\frac{2}{1}}}, \frac{7}{3} , {\color{red}{\frac{9}{4}}} , \frac{20}{9} , \frac{29}{13} , {\color{red}{\frac{38}{17}}} , \frac{123}{55} , {\color{red}{\frac{161}{72}}} , \frac{360}{161} , \frac{521}{233} , {\color{red}{\frac{682}{305}}} , \frac{2207}{987} , {\color{red}{\frac{2889}{1292}}}, \dots

Konvergenti neprekidnog razlomka napisani su u boji; njihovi brojnici predstavljaju niz A001077 , a njihovi nazivnici niz A001076 . Ostali (neobojeni) članovi su polukonvergenti.

Babilonski metod[]

Kada se 5 ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ izračnava preko Babilonskog metoda, počevši od $r_0 = 2$ , te koristeći $r_{n+1} = (r_n + 5/r_n) / 2$ , n-ti aproksimant $r_n$ jednak je $2^n$ -tom konvergentu konvergentnog niza:

${\displaystyle {\frac {2}{1}}=2,0;\quad {\frac {9}{4}}=2,25;\quad {\frac {161}{72}}=2,23611\dots ;\quad {\frac {51841}{23184}}=2,2360679779\ldots }$

Ramanujanovi identiteti[]

Kvadratni korjen od 5 pojavljuje se u raznim identitetima Ramanujana, uključujući neprekidne razlomke.[4] [5]

Na primjer, imamo slučaj Rogers–Ramanujanovog neprekidnog razlomka:

${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).}$

${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-6\pi {\sqrt {5}}}}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({{\sqrt {5}} \over 1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}-\varphi \right)e^{2\pi /{\sqrt {5}}}.}$

${\displaystyle 4\int _{0}^{\infty }{\frac {xe^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$

Korjen iz 5 je iracionalan[]

$\frac{a}{b}=\sqrt{5}$

$\frac{a^2}{b^2}=5$

$a^2=5b^2$

Za $a=2m+1$ i $b=2n+1$

$(2m+1)^2=(2n+1)^2$

$5(2n+1)^2=(2m+1)^2$

$5(4n^2+4n+1)=4m^2+4m+1$

$20n^2+20n+5=4m^2+4m+1$

$20n^2+20n+4=4m^2+4m$

$5n^2+5n+1=m^2+m$

$5n(n+1)+1=m(m+1)$

Odnos zlatnog omjera i Fibonaccijevog nizu[]

thumb|Dijagonala√5 / 2 pravougaonika stranica 1 i 0,5 čine osnovu za geometrijsku konstrukciju zlatnog pravougainika

Zlatni omjer $\phi$ je aritmetička sredina 1. i kvadratnog korjena od 5,

\sqrt{5} = \varphi + \Phi = 2\varphi - 1 = 2\Phi + 1

\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}

\Phi = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

Geometrija[]

Geometrijski, kvadratni korijen od 5 odgovara dijagonali pravougaonika čije su stranice dužinu od 1 i 2 ili hipotenuzi trougla čije su katete $1$ i $2,$ . Ovo se može provjeriti Pitagorinom teoremom.