Kvadratni broj je jedan od prirodnih brojeva 1, 4, 16, 25...

Lako se može ustanoviti relacija između uzastopnih članova niza. Ako kvadratu nekog broja dodamo dvostruki taj broj uvečan za 1 dobijamo sljedeći ćlan niza.

Primjer

Kvadrat broja čija je cifra jedinica 5 određujemo tako što broj ispred 5 pomnožimo sa njemu sljedećim brojem i tom proizvodu dopišemo 25.

ako su poznate algebarske relacije

uvrstimo

Može se koristiti kao kvadrat broja ako se zna

Malo teže je za

Lako se pamte kvadrati čija je cifra jedinica 0 (nula).

Kako je

imamo

Brojeve između 40 i 60 upoređujemo sa brojem 50

Ovo pravilo se može primjeniti za brojeve između 2 i 29. Kako znamo da je kvadrat nekog broja jednak četvrtini kvadrata dvostrukog tog broja imamo

Slično je sa brojevima 82 do 98 koji se dijele sa 2 pa je njihov kvadrat 4 puta veći.

Za brojeve od 90 do 110 primjenjujemo pravilo

Kvadrati cijelih brojeva uvijek završavaju sa ciframa 0,1,4,5,6,9 a nikada sa 2,3,7. Ovo je dovoljan ali ne i potreban uslov da bi broj bio kvadratni, jer se broj može završavati nekom cifrom prvog niza a da nije kvadrat, a cio broj ako se ne završava nekom od tih cifri ne može biti kvadrat.

Interesantno je da dvocifrenih završetaka kvadrata ima 22. To su: 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36,  41, 44, 49, 56, 1,64, 69, 76, 81, 84, 89, 96. Ovo je značajno kod istraživanja odnosa brojeva.

Primjer

ako nas interesuje da li kvadrat oduzet ili dodat od nekog broja daje kvadrat? Ako želimo naći broj takav da je također kvadrat.

Iz navedenih brojeva vidimo da se mora završavati sa 00, 25, 56, ili 81.

Kvadrat se može završavati sa parnim brojem nula. ali ne i sa vise od 3 četvorke

je najmanji takav broj, a sljedeći takav broj je zatim 538 pa 962.

Uopšte broj ili ima kvadrat koji se završava sa ciframa 444.

Kod automorfnih brojeva postoji klasa brojeva kod cijih su kvadrata  n posljednjih cifara isti kao kod samog broja. Za n=1 svaki broj koji završava sa 5 ili 6 kvadrat također završava sa 5 ili 6.


Za n=3 ako se brojevi završavaju sa 376 ili 625 kvadrat također završava sa 376 ili 625.

Postoje također brojevi koji zavrsavaju sa 000 ili 0001. Njihovi kvadrati se završavaju tim ciframa.

Postoje relacije koje sadrže kvadrate.

Broj 2025 je kvadrat kao i broj koji nastaje ako uvečamo njegove cifre za 1 tj broj 3136

Istu osobinu ima i broj 25

Premještajući cifre brojeva 65 imamo

Ovo je jedina dvocifrena rekacija ovog tipa.

Postoji 83 broja čiji kvadrati sadrže svih 9 cifri sem nule bez ponavljanja.

Primjer

a 87 koji sadrze i nulu. Tj.

Postoji nekoliko relacija koje pokazuju da razlika dva kvadrata može biti jednaka broju koji sadrži svih devet cifara uzetih samo jednom.

Svaki neparni broj veci od 1 i svi parni djeljivi sa brojem 4 sem broja 4 mogu se izraziti kao razlika kvadrata.

Brojevi koji sadrze svih 9 cifri u rastućem ili opadajućem nizu mogu se izraziti kao razlika 2 kvadrata.

9 cifara moze permutovati na 362880 načina, od kojih je 90720 brojeva oblika . To su brojevi koji se završavaju sa 02, 06, 14...98. Ne mogu se izraziti kao razlika kvadrata.

Sa brojevima 1 i 4 ima 90722 broja koji se ne mogu izraziti kao razlika kvadrata. Preostalih 272158 brojeva mogu se izraziti kao razlika kvadrata.

Proizvod zbira dva kvadrata sa drugim zbirom dva kvadrata uvijek je jednak zbiru dva kvadrata.

Svaki prirodni broj može se izraziti kao zbir ne vise od 4 kvdrata.

Dokaz ove teoreme dao je Lagrange. Teorema se po njemu zove Lagrangeova teorema.

Moguće je imati 3 cjelobrojna kvadrata, takva da su njihovi zbirovi po parovima kvadrati.

Primjer

Ovo znaci da kvadar 44*117*240 ima strane čije su dijagonale cijeli brojevi

Da bi zbir 2 cjelobrojna kvadrata bio kvadrat cijelog broja potrebno je da , , imaju oblik.

To suPitagorine trojke brojeva za m, n, k proizvoljne prirodne brojeve.

Zbir kvadrata uzastopnih brojeva može biti kvadrat broja.

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.