Posmatrajmo polinom trečeg stepena

za koja siječe x-osu u tačkama koje su nule odgovarajuče jednačine trečeg stepena, kubne jednačine.

Kubnajed.gif








Primjer 

Na sljedečem grafu je predstavljena kubna funkcija  čija odgovarajuča kubna jednačina glasi

i ima nule, rješenja -1, 1 i 3. U jednačini

smjenom  postaje

za

i

Primjer 

Jednačina

postaje

Jednačina

smjenom

postaje

ovdje smo nepoznatu zamjenili sa 2 nove i uvodimo novi uslov

pa je

Iz

dobijamo

Sistem

ekvivalentan je sa

Iz kojeg dobijamo

za i

Ova jednčina naziva se rezolventna jednačina jednačine

Njenim rješavanjem dobijamo

Vračanjem druge smjene dobijamo

IZ

pa je

tj. jedno rješenje jednačine je

Parovi su rješenja sistema

Iz jednačina

u^3=t_1 i

slijedi

,

,

,

,

gdje su treći korjeni jedinice

Odnosno sva rješenja jednačine

data su formulom

,

,

koje se takođe nazivaju Kardanove formule.

Diskusija

Kada su koeficijenti p i q realni, tada realnost rješenja zadane jednačine zavisi od izraza

Ovaj izraz je diskriminanta

Za ima jedno realno, dva konjugovano kompleksna rješenja

Za ima sva tri realna, bar jedno dvostruko rješenje

ZA ima sva tri realna i različita rješenja

U našem slučaju (za ) rješenja jednačine su realna, ali se do njih dolazi izračunavanjem kubnih korjena imaginarnih brojeva. Zato što se tada ne možemo osloboditi imaginarnosti u Kardanovim formulama, ovaj slučaj (D < 0) nazivamo nesvodljiv slučaj.

Za i imamo

pa je i imamo 2 slučaja

, Iz ovoga je

i

pa je rješenje polaznog primjera

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.