Kub broja je treći stepen nekog broja, tj. proizvod tri jednaka činioca (npr.), odnosno

To je i broj pomnožen svojim kvadratom.

Ovo je formula za zapreminu kocke sa ivicom dužine , što dovodi do imena. Inverzna operacija od pronalaženja broja čiji kub je se zove vađenje kubnog korena od . Ona određuje stranu kocke date zapremine.

Kub i kubni korjen su neparne funkcije:

Cijeli brojevi[uredi | uredi izvor]

Kubni broj, ili savršeni kub, ili samo kub, je broj koji je kub cijelog broja. Pozitivni savršeni kubovi do

Razlika između kubova uzastopnih celih brojeva se može izraziti na sledeći način:

ili

Ne postoji minimalni savršeni kub, jer je kub negativnog cijelog broja je npr.

Dekadni sistem[uredi | uredi izvor]

Za razliku od savršenih kvadrata, savršeni kubovi nemaju mali broj mogućnosti za posljednje dvije cifre. Osim za kub djeljiv sa 5, gdje samo , i mogu biti posljednje dvije cifre, bilo koji par brojeva sa bilo koje dvije neparne posljednje cifre može biti savršen kub. Sa parnim kubovima, postoji značajno ograničenje, za samo , , , i mogu biti posljednje dvije cifre savršenog kuba (gdje o označava bilo koju neparnu cifru i e bilo šta, čak i cifru). Neki kubni brojevi su takođe kvadratni brojevi; na primjer, 64 je kvadratni broj () ai kubni broj (). To se dešava ako i samo ako je broj savršena šesta snaga.

Posljednje cifre bilo koje treće snage su:

0 1 8 7 4 5 6 3 2 9

Međutim, lako je pokazati da većina brojeva nisu savršeni kubovi jer svi savršeni kubovi moraju imati digitalni korjen , ili . Štaviše, digitalni korjen kuba bilo kog broja može se odrediti ostatkom koji broj daje kada se podijeli :

  • Ako je broj djeljiv sa 3, njegov kub ima digitalni korjen
  • Ako daje ostatak pri dijeljenju sa , njegov kub ima digitalni korijen
  • Ako daje ostatak pri deljenju sa , njegov kub ima digitalni korjen

Upozorenje o problemu za kubove[uredi | uredi izvor]

Svaki pozitivan cio broj može biti napisan kao zbir od devet (ili manje) pozitivnih kubova. Ova gornja granica od devet kubova ne može se smanjiti jer, npr može da se piše kao zbir manje od devet pozitivnih kubova:

.

Fermatova posljednja teorema za kocke[uredi | uredi izvor]

Jednačina nema netrivijalno rješenje u skupu celih brojeva. U stvari, nega u Ajnšajnovim cjelim brojevima. (npr: Obe ove izjave takođe važe i za jednačinu . Zbir prvih n kubova

Zbir prvih n kubova je n-ti trougaoni broj kvadrat[uredi | uredi izvor]

.

Vizuelni dokaz da

Na primjer, zbir prvih 5 kubova je kvadrat 5-og trougaonog broja,

Sličan rezultat se može dobiti za zbir od prvih y neparnih kubova,

ali x, y moraju zadovoljiti negativnu Pelovu jednačinu . Na primjer, za i , onda,

i tako dalje. Takođe, svaki paran savršen broj, osim najnižeg, je zbir prvih neparnih kubova,

Zbir kubova brojeva u aritmetičkoj progresiji

Postoje primjeri kubova brojeva u aritmetičkoj progresiji čiji zbir je kub:

sa prvim takođe poznatim kao Platonov broj. Formula za pronalaženje zbira kubova brojeva u aritmetičkoj progresiji sa zajedničkom razlikom i početnim kubom ,

je data kao

Parametarsko rešenje za

je poznato za poseban slučaj d = 1, ili uzastopne kubove, ali samo sporadična rešenja su poznata za ceo broj d > 1, kao za d = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 37, 39, itd.[[1]]

Kubovi kao sume uzastopnih cijelih neparnih brojeva[uredi | uredi izvor]

U nizu neparnih cijelih brojeva 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ..., prvi je kub (); zbir sledeća dva je kub (3+5 = 23); zbir sljedeća tri je sljedeći kub (); i tako dalje.

Za racionalne brojeve[uredi | uredi izvor]

Svaki pozitivan racionalan broj je zbir tri pozitivna racionalna kuba, a tu su i racionalni koji nisu zbir dva racionalna kuba. U realnim brojevima, drugim poljima, i prstenovima x³ uneto u Kartezijski avion

U realnim brojevima, funkcija kuba čuva red: veći broj ima veći kub. Drugim rečima, kub (strogo) monotono raste. Takođe, njegov kodomen je cela realna linija: funkcija je surjekcija (uzima sve moguće vrijednosti). Samo tri broja su jednaka sopstvenim kubovima: −1, 0, i 1. −1 < x < 0 ili 1 < x, onda . Ako je x < −1 ili 0 < x < 1, onda . Svi navedeni osobine odnose se i na bilo koji veći neparan stepen () realnih brojeva. Ravnopravnost i nejednakosti su takođe istinite u svakom naručenom prstenu.

Mnogo sličnih Euklidskih stereometara su povezani kao kubovi njihovih linearnih veličina.

U kompleksnim brojevima, kub imaginarnog broja je takođe imaginaran. Na primer, .

Izvod od je .

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.