Koordinate su brojni ili uglovni elementi koji određuju položaj neke tačke u ravni ili prostoru. Zavisno od potrebe, koordinate mogu biti određene sa jednom, dvije, ili tri tačke.
U geometriji, koordinatni sistem je sistem koji koristi jedan ili više brojeva, ili koordinata, da jedinstveno odredi poziciju tačaka ili drugih geometrijskih elemenata na manifoldu kao što je Euklidov prostor.[1] Poredak koordinata je značajan, i one su ponekad identifikuju po njihovoj poziciji u uređenoj n-torci a ponekad slovom, kao u „x-koordinata”. Koordinate su realni brojevi u elementarnoj matematici, ali mogu da budu kompleksni brojevi ili elementi apstraktnijeg sistema kao što je komutativni prsten. Upotreba koordinatnog sistema omogućava problemima u geometriji da budu translirani u probleme o brojevima vice versa; to je osnova analitičke geometrije.[2]
Uobičajeni koordinatni sistem[]
Koordinatni sistem je skup linija i ravni koje se koriste za nedvosmisleno određivanje položaja nekog objekta njegovim koordinatama. Postoji više vrsta koordinatnih sistema.
- Koordinatni sistemi u ravni:
- Pravougli koordinatni sistem. Dvije prave linije (koordinatne ose) sijeku se pod pravim uglom u jednoj tački (koordinatni početak ili ishodište). Horizontalna osa je iks (x) osa (apcisna osa), a vertikalna osa je ipsilon (y) osa (ordinatna osa).
- Kosougli koordinatni sistem. Razlikuje se od pravouglog po tome što ugao između koordinatnih osa nije 90 stepeni.
- Polarni koordinatni sistem. Ima usvojeni koordinatni početak O i orijentisanu pravu liniju OP (polarna osa). Položaj tačke je određen polarnim koordinatama: ro (ρ) (polarna razdaljina, radijus vektor, poteg) i fi (φ) (polarni ugao, anomalija, amplituda).
- Koordinatni sistemi u prostoru:
- Pravougli ili kosougli. Ovaj sistem stvaraju tri koordinatne ose, x, y,z, koje se međusobno sijeku pod nekim uglom. Položaj tačke je određen sa tri koordinate — apscisa x, ordinata y i aplikata z.
- Cilindrični. Polarni koordinatni sistem je u ravni xy, a smjer koordinatne ose z. Cilindrične koordinate su φ, ρ i Z.
- Sferni. Obrazuju ga dva polarna sistema. Postoji ravan xy i ravan zT Sferne koordinate. r, ρ i φ se zovu i polarne koordinate u prostoru.
Brojna osa[]
brojna osa
Najjenostavniji primjer coordinatnog sistema je identifikacija tačaka na liniji sa realnim brojevima koristeći brojnu liniju. U tom sistemu, jedna arbitrarna tačka O (koordinatni početak) se bira na datoj liniji. Koordinata tačke P je definisana kao rastojanje od O do P, pri čemu to rastojanje može da bude pozitivno ili negativno u zavisnosti od toga na kojoj strani linije P leži. Svakoj tački je dodjeljena jedinstvena koordinata i svaki realni broj je koordinata jedinstvene tačke[3].
Dekartov koordinantni sistem[]
Prototipni primjer koordinatnog sistema je Kartezijski ili Dekartov koordinatni sistem. U ravni, dvije normalne linije su izabrane i koordinate tačke su date kao rastojanja na linijama.
U trodimenzionalnom prostoru, izabrane su tri međusobno normalne ravni i tri koordinate tačke su rastojanja do svake ravni.[4]Ovo se može generalisati kreiranjem n koordinata za svaku tačku u n-dimenzionom Euklidovom prostoru. U zavisnosti od smjera i redosljeda koordinatnih osa sistem može da bude desnoruki ili ljevoruki sistem. Ovo je jedan od mnogih koordinatnih sistema.
Polarni koordinatni sistem[]
Još jedan koordinatni sistem u širokoj upotrebi je polarni koordinatni sistem.[5] Jedna tačka se bira kao pol i prava koja prolazi kroz tu tačku se uzima kao polarna osa. Za dati ugao θ, postoji jedna linija kroz pol čiji ugao sa polarnom osom je θ (mjereno nasuprot kretanju kazaljki na satu od ose do te linije). Zatim postoji jedinstevena tačka na toj liniji čije rastojanje od koordinatnog početka je r za dati broj r. Za dati par koordinata (r, θ) postoji jedna tačka, mada je svaka tačka predstavljena mnogim parovima koordinata. Na primjer, (r, θ), (r, θ+2π) i (−r, θ+π) su sve koordinte iste tačke. Koordinantni početak se predstavlja sa (0, θ) za bilo koju vrijednost θ.
Cilindrični i sferni koordinatni sistem[]
Postoje dva uobičajena metoda za proširivanje polarnog koordinatnog sistema u tri dimenzije. U cilindričnom koordinatnom sistemu, z-koordinata sa istim značenjem kao u Kartezijskim koordinatama se dodaje na r i θ polarne koordinate čime se formira triplet (r, θ, z).[7] Sferične koordinate čine korak dalje konvertujući par cilindričnih koordinata (r, z) u polarne koordinate (ρ, φ) čime se formira triplet (ρ, θ, φ).[8]
Homogeni koordinatni sistem[]
Tačka u ravni se može predstaviti u homogenim koordinatama u vidu tripleta (x, y, z) gde su x/z i y/z Kartezijske koordinate te tačke.[9] Ovim se uvodi jedna „ekstra” koordinata pošto su samo dve potrebne za specificiranje tačke u ravni, međutim ovaj sistem je koristan zato što predstavlja svaku tačku na projektivnoj ravni bez upotrebe beskonačnosti. Generalno, homogeni koordinatni sistem je onaj u kome su samo odnosi koordinata značajni i ne stvarne vrednosti.
Drugi često korišteni sistemi[]
Neki drugi koordinatni sistemi u širokoj upotrebi su:
Krivolinearne koordinate su generalizacija koordinatnih sistema; sistem je baziran na preseku krivih.
Ortogonalne koordinate: koordinatne površine se sastaju pod pravim uglovima
Zakošene koordinate: koordinatne površine nisu ortogonalne
Log-polarni koordinatni sistem predstavlja tačku u ravni logaritmom rastojanja od koordinatnog početka i uglom koji se meri od referentne linije koja prolazi kroz koordinatni početak.
Plikerove koordinate su način predstavljanja linija u 3D Euklidovom prostoru koristeći šest brojeva kao homogene koordinate. Generalizovane koordinate se koriste u Lagranžovom treatmanu mehanike.
Kanoničke koordinate se koriste u Hamiltonijanskom treatmanu mehanike.
Baricentrične koordinate se koriste za ternarnim grafikonima i generalno u analizi trouglova.
Trilinearne koordinate se koriste u kontekstu trouglova.
Postoje načini za opisivanje krivih bez koordinata, koristeći intrinzične jednačine koje koriste invarijantne kvantitete kao što su zakrivljenost i dužina luka. Ovi su obuhvaćene:
Vevelova jednačina povezuje dužinu luka i tangentni ugao.
Čezarova jednačina povezuje dužinu luka i zakrivljenost.
- ↑ Weisstein, Eric W. Coordinate System
- ↑ Weisstein, Eric W Coordinates
- ↑ Stewart, James B.; Redlin, Lothar; Watson, Saleem (2008). College Algebra(5th изд.).
- ↑ Moon P, Spencer DE (1988). „Rectangular Coordinates (x, y, z)”. Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd, 3rd print изд.). New York: Springer-Verlag. стр. 9—11(Table 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2.
- ↑ Finney, Ross; Thomas, George; Franklin Demana; Waits, Bert (јун 1994). Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic (Single Variable Version изд.). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-55478-X.