Matematika Wiki
Advertisement

Koordinate su brojni ili uglovni elementi koji određuju položaj neke tačke u ravni ili prostoru. Zavisno od potrebe, koordinate mogu biti određene sa jednom, dvije, ili tri tačke.

U geometriji, koordinatni sistem je sistem koji koristi jedan ili više brojeva, ili koordinata, da jedinstveno odredi poziciju tačaka ili drugih geometrijskih elemenata na manifoldu kao što je Euklidov prostor.[1]  Poredak koordinata je značajan, i one su ponekad identifikuju po njihovoj poziciji u uređenoj n-torci a ponekad slovom, kao u „x-koordinata”. Koordinate su realni brojevi u elementarnoj matematici, ali mogu da budu kompleksni brojevi ili elementi apstraktnijeg sistema kao što je komutativni prsten. Upotreba koordinatnog sistema omogućava problemima u geometriji da budu translirani u probleme o brojevima  vice versa; to je osnova analitičke geometrije.[2]

Uobičajeni koordinatni sistem

Koordinatni sistem je skup linija i ravni koje se koriste za nedvosmisleno određivanje položaja nekog objekta njegovim koordinatama. Postoji više vrsta koordinatnih sistema.

  • Koordinatni sistemi u ravni:
    • Pravougli koordinatni sistem. Dvije prave linije (koordinatne ose) sijeku se pod pravim uglom u jednoj tački (koordinatni početak ili ishodište). Horizontalna osa je iks (x) osa (apcisna osa), a vertikalna osa je ipsilon (y) osa (ordinatna osa).
    • Kosougli koordinatni sistem. Razlikuje se od pravouglog po tome što ugao između koordinatnih osa nije 90 stepeni.
    • Polarni koordinatni sistem. Ima usvojeni koordinatni početak O i orijentisanu pravu liniju OP (polarna osa). Položaj tačke je određen polarnim koordinatama: ro (ρ) (polarna razdaljina, radijus vektor, poteg) i fi (φ) (polarni ugao, anomalija, amplituda).
  • Koordinatni sistemi u prostoru:
    • Pravougli ili kosougli. Ovaj sistem stvaraju tri koordinatne ose, x, y,z, koje se međusobno sijeku pod nekim uglom. Položaj tačke je određen sa tri koordinate — apscisa x, ordinata y i aplikata z.
    • Cilindrični. Polarni koordinatni sistem je u ravni xy, a smjer koordinatne ose z. Cilindrične koordinate su φ, ρ i Z.
    • Sferni. Obrazuju ga dva polarna sistema. Postoji ravan xy i ravan zT Sferne koordinate. r, ρ i φ se zovu i polarne koordinate u prostoru.

Brojna osa

brojna osa

Najjenostavniji primjer coordinatnog sistema je identifikacija tačaka na liniji sa realnim brojevima koristeći brojnu liniju. U tom sistemu, jedna arbitrarna tačka O (koordinatni početak) se bira na datoj liniji. Koordinata tačke P je definisana kao rastojanje od O do P, pri čemu to rastojanje može da bude pozitivno ili negativno u zavisnosti od toga na kojoj strani linije P leži. Svakoj tački je dodjeljena jedinstvena koordinata i svaki realni broj je koordinata jedinstvene tačke[3].


Dekartov koordinantni sistem

Prototipni primjer koordinatnog sistema je Kartezijski ili Dekartov koordinatni sistem. U ravni, dvije normalne linije su izabrane i koordinate tačke su date kao rastojanja na linijama.

U trodimenzionalnom prostoru, izabrane su tri međusobno normalne ravni i tri koordinate tačke su rastojanja do svake ravni.[4]Ovo se može generalisati kreiranjem n koordinata za svaku tačku u n-dimenzionom Euklidovom prostoru. U zavisnosti od smjera i redosljeda koordinatnih osa sistem može da bude desnoruki ili ljevoruki sistem. Ovo je jedan od mnogih koordinatnih sistema.

Polarni koordinatni sistem

Još jedan koordinatni sistem u širokoj upotrebi je polarni koordinatni sistem.[5] Jedna tačka se bira kao pol i prava koja prolazi kroz tu tačku se uzima kao polarna osa. Za dati ugao θ, postoji jedna linija kroz pol čiji ugao sa polarnom osom je θ (mjereno nasuprot kretanju kazaljki na satu od ose do te linije). Zatim postoji jedinstevena tačka na toj liniji čije rastojanje od koordinatnog početka je r za dati broj r. Za dati par koordinata (r, θ) postoji jedna tačka, mada je svaka tačka predstavljena mnogim parovima koordinata. Na primjer, (r, θ), (r, θ+2π) i (−r, θ+π) su sve koordinte iste tačke. Koordinantni početak se predstavlja sa (0, θ) za bilo koju vrijednost θ.

Cilindrični i sferni koordinatni sistem

Postoje dva uobičajena metoda za proširivanje polarnog koordinatnog sistema u tri dimenzije. U cilindričnom koordinatnom sistemu, z-koordinata sa istim značenjem kao u Kartezijskim koordinatama se dodaje na r i θ polarne koordinate čime se formira triplet (r, θ, z).[7] Sferične koordinate čine korak dalje konvertujući par cilindričnih koordinata (r, z) u polarne koordinate (ρ, φ) čime se formira triplet (ρ, θ, φ).[8]

Homogeni koordinatni sistem

Tačka u ravni se može predstaviti u homogenim koordinatama u vidu tripleta (x, y, z) gde su x/z i y/z Kartezijske koordinate te tačke.[9] Ovim se uvodi jedna „ekstra” koordinata pošto su samo dve potrebne za specificiranje tačke u ravni, međutim ovaj sistem je koristan zato što predstavlja svaku tačku na projektivnoj ravni bez upotrebe beskonačnosti. Generalno, homogeni koordinatni sistem je onaj u kome su samo odnosi koordinata značajni i ne stvarne vrednosti.

Drugi često korišteni sistemi

Neki drugi koordinatni sistemi u širokoj upotrebi su:

Krivolinearne koordinate su generalizacija koordinatnih sistema; sistem je baziran na preseku krivih.

Ortogonalne koordinate: koordinatne površine se sastaju pod pravim uglovima

Zakošene koordinate: koordinatne površine nisu ortogonalne

Log-polarni koordinatni sistem predstavlja tačku u ravni logaritmom rastojanja od koordinatnog početka i uglom koji se meri od referentne linije koja prolazi kroz koordinatni početak.

Plikerove koordinate su način predstavljanja linija u 3D Euklidovom prostoru koristeći šest brojeva kao homogene koordinate. Generalizovane koordinate se koriste u Lagranžovom treatmanu mehanike.

Kanoničke koordinate se koriste u Hamiltonijanskom treatmanu mehanike.

Baricentrične koordinate se koriste za ternarnim grafikonima i generalno u analizi trouglova.

Trilinearne koordinate se koriste u kontekstu trouglova.

Postoje načini za opisivanje krivih bez koordinata, koristeći intrinzične jednačine koje koriste invarijantne kvantitete kao što su zakrivljenost i dužina luka. Ovi su obuhvaćene:

Vevelova jednačina povezuje dužinu luka i tangentni ugao.

Čezarova jednačina povezuje dužinu luka i zakrivljenost.

  1. Weisstein, Eric W. Coordinate System
  2. Weisstein, Eric W Coordinates
  3. Stewart, James B.; Redlin, Lothar; Watson, Saleem (2008). College Algebra(5th изд.). 
  4. Moon P, Spencer DE (1988). „Rectangular Coordinates (x, y, z)”. Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd, 3rd print изд.). New York: Springer-Verlag. стр. 9—11(Table 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2.
  5. Finney, Ross; Thomas, George; Franklin Demana; Waits, Bert (јун 1994). Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic (Single Variable Version изд.). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-55478-X.
Advertisement