Kompleksni brojevi

U skupu realnih brojeva $ \mathbb{R} $ jednačina $ x^2-1=0 $ ima dva rješenja

$ x^2-1=0 => x=\pm 1 $

Slična jednačina $ x^2+1=0 $ u skupu $ \mathbb{R} $ nema ni jedno rješenje. Zato se uvodi imaginarna jedinica $ i $ definisana na sljedeći način $ i^2=-1 $ tj

$ x^2+1=0 => x=\pm 1 $. Iz ove definicije slijedi

$ \displaystyle i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=-i\cdot i=-(-1)=1,\quad i^5=i, \quad i^6=-1, \ldots $.

Na ovaj način dobili smo skup kompleksnih brojeva. Kompleksan broj je broj oblika

$ x + yi\, $

gdje su $ x $ i $ y $ realni brojevi, a $ i $ se naziva imaginarna jedinica i ima osobinu $ i^2 = -1 $. Realni broj $ x $ se naziva realni dio kompleksnog broja i označava se sa $ Re(z) $, a $ y $ se naziva imaginarni dio i označava se sa $ Im(z) $.

Skup kompleksnih brojeva možemo smatrati proširenjem skupa realnih brojeva, odnosno svaki realni broj $ x $ možemo posmatrati kao kompleksni, uzimajući u prethodnoj notaciji da je $ y = 0 $, tj. $ x = x + 0i $.

NotacijaEdit

Povremeno se može naići na definiciju $ i=\sqrt{-1} $. U praktičnom smislu (iako korektna) tu definiciju treba koristiti vrlo uvjetno, jer ukoliko uradimo slijedeću operacije dobijamo pogrešan rezultat. $ \sqrt{-1}*\sqrt {-1}=\sqrt{1}=1 $. U pravilu takva vrsta operacije se tretira u domeni kompleksnih brojeva a ne realnih, i prema definiciji kompleksnog broja $ i=\sqrt{-1} $ imamo: $ i*i=-1 $ što je i korektan rezultat. Kompleksni brojevi se mogu formalno definisati kao dvodimenzionalni vektori ili uređeni parovi $ (x,y) $ realnih brojeva.

DefinicijaEdit

Definiciju kompleksnih brojeva kao uređenih parova dao je William R. Hamilton , irski matematičar (1805– 1865.) Ta se definicija temelji samo na sosobini realnih brojeva, čime se izbjegava donekle nerazjašnjeni pojam broja $ \sqrt{1} $ . S druge strane, zapis oblika $ z = x + yi $ pogodniji je za računanje. Oba oblika kompleksnog broja; $ z = x + yi $ i $ z = (x, y) $ potpuno su ekvivalentna.

Skup kompleksnih brojeva $ \mathbb{C} $ je skup svih brojeva oblika $ z=x+iy $, gdje su $ x,y\in \mathbb{R} $.

Posebno je $ 0=0+i0 $.

$ x=\mathrm{Re}( z) $ je realni dio kompleksnog broja $ z $,

$ y=\mathrm{Im} z $ je imaginarni dio kompleksnog broja $ z $.

Algebarski oblik kompleksnog broja je

$ z = x + iy $ za $ x, y \in \mathbb{R} $

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je

$ z = r(cos \theta + isin\theta), r \ge 0,\theta \in \mathbb{R} $

pri čemu je

$ r=\mid z\mid $ modul

$ \theta = arg \ z $ argument

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je

$ z=r^{i\theta} $ za $ r \ge 0,\theta \in \mathbb{R} $

pri čemu je

$ r=\mid z\mid $ modul

$ \theta = arg z $ argument

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi.

$ z_{1} = z_{2} \, \, \leftrightarrow \, \, ( \operatorname{Re}(z_{1}) = \operatorname{Re}(z_{2}) \, \and \, \operatorname{Im} (z_{1}) = \operatorname{Im} (z_{2})). $

Konjugirano kompleksni broj broja $ z=x+iy $ je broj $ \bar z=x-iy $.

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja $ z $ je nenegativni realni broj $ r=\vert z\vert=\sqrt{x^2+y^2} $.

Sabiranje i oduzimanje kompleksnih brojevaEdit

U skupu kompleksnih brojeva definisano je sabiranje.

Neka su $ z_1=x_1+iy_1 $ i $ z_2=x_2+iy_2 $ dva kompleksna broja.

$ \displaystyle z_1+z_2 \displaystyle = x_1+x_2+i(y_1+y_2) $

i oduzimanje

$ \displaystyle z_1-z_2 \displaystyle = x_1-x_2+i(y_1-y_2) $

Osobine sabiranja kompleksnih brojevaEdit

$ (z_1+z_2=z_2+z_1 $ za $ \forall z_1,z_2 \in \mathbb{C} $ komutativnost sabiranja

$ z_1 + (z_2 + z_3)=(z_1 + z_2) + z_3, $ za $ \forall z_1,z_2, z_3 \in \mathbb{C} $ asocijativnost sabiranja

$ \exists 0\in \mathbb{C} z+0=z $ za $ \forall z \in \mathbb{C} $ neutralnost nule za sabiranje

Kompleksni broj $ 0=(0,0)=0+0i $

$ (\forall z \in \mathbb{C}) (\exists (-z)\in \mathbb{C} z+(-z)=0 $ postojanje inverznog elemanta.

Kompleksni broj $ -z=(-x,-y)=-x-yi $

Množenje kompleksnih brojevaEdit

Neka su $ z_1=x_1+iy_1 $ i $ z_2=x_2+iy_2 $ dva kompleksna broja.

U skupu kompleksnih brojeva definisano je množenje $ \displaystyle z_1\cdot z_2 \displaystyle = (x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2+iy_1x_2+ix_1y_2+i^2y_1y_2 \displaystyle = x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1) $

Osobine množenja kompleksnih brojevaEdit

$ (z_1*z_2=z_2*z_1 $ za $ \forall z_1,z_2 \in \mathbb{C} $ komutativnost množenja

$ z_1 * (z_2 + z_3)=(z_1 + z_2) + z_3 $ za $ \forall z_1,z_2, z_3 \in \mathbb{C} $ asocijativnost množenja

$ \exists 1\in \mathbb{C} z*1=z $ za $ \forall z \in \mathbb{C} $ neutralnost $ 1 $ za množenje

$ \forall z \in \mathbb{C})(z \ne 0 )(\exists z'\in \mathbb{C} z*(-z)=1 $ postojanje reciproćnog elemanta

$ z_1 * (z_2 + z_3) = z_1 * z_2 + z_1 * z_3 $ za $ \forall z_1,z_2, z_3 \in \mathbb{C} $ distributivnost množenja u odnosu na sabiranje

Realan proizvod dva kompleksna brojaEdit

U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe. Definicija

Realan proizvod kompleksnih brojeva $ a $ i $ b $, u oznaci $ a \circ b $,je realan broj određen kao

$ a \circ b =\frac{1}{2}( \overline{a}b+a\overline{b}) $

Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima $ a = \mid a \mid(cos \varphi + i sin \varphi) $ i$ b = \mid b \mid(cos \psi + i sin \psi) $ Lako je proveriti da je

$ a \circ b = \mid a \mid \mid b \mid ( cos \varphi+i sin \psi)= \mid OA \mid \mid AB \mid cos \widehat{AOB} $

Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja

$ a \circ a = \mid a \mid ^2 $
$ a \circ b = b \circ a $
$ \overline{a \circ b}=a \circ b $
$ (\alpha a )\circ b =\alpha(a \circ b )=a \circ ( \alpha b) $
$ (az))bz)= \mid z \mid ^2 (a\circ b) $
$ a\circ b = 0 <=> OA \perp OB $ (za tačke A i B kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima $ a $ i $ b $)

Realan proizvod kompleksnih brojeva $ a $ i $ b $ jednak je potenciji koordinantnog početka $ O $ kompleksne ravni u odnosu na krug čiji je prečnik $ AB $, gdje su $ A $ i $ B $ tačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima $ a $ i $ b $.

Tačka $ M $ je sredina duži AB određena kompleksnim brojem $ \frac{a+b}{2} $, potencija tačke $ O $ u odnosu na krug sa središtem u tački $ M $ i poluprečnikom

$ r = \frac{a-b}{2}= \frac{\mid a-b \mid}{2} $ jednaka je

$ OM^2 - r^2 =\mid \frac{a+b}{2} \mid -\mid \frac{a-b}{2} \mid = \frac{(a+b)(\overline{a}+\overline{b} }{4}-\frac{(a-b)(\overline{a}-\overline{b}) }{4}= a\circ b $

Neka su tačke $ A $,$ B $,$ C $,$ D $ taačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima $ a $, $ b $, $ c $, $ d $. Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

$ AB \perp CD $
$ (a+b)\circ (c+d)=0 $
$ \frac{b-a}{d-c}\in i\mathbb{R} \ \begin{Bmatrix} 0 \end{Bmatrix} $
$ Re(\frac{b-a}{d-c})=0 $

Središte kružnice opisane oko trougla $ ABC $ nalazi se u koordinantnom početku kompleksne ravni. Ako su tjemena $ A $, $ B $, $ C $ trougla $ ABC $ određena kompleksnim brojevima $ a $, $ b $, $ c $ respektivno, tada je ortocentar $ H $ tog trougla određen kompleksnim brojem $ h = a + b + c $.

Kompleksan proizvod dva kompleksna brojaEdit

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.

Definicija

Kompleksan broj

$ a \times b =\frac{\overline{a}b - a \overline{b}}{2} $ nazivamo kompleksnim proizvodom kompleksnih brojeva $ a $ i $ b $.

Neka su $ A $ i $ B $ tačke određene kompleksnim brojevima $ a = \mid a \mid(cos\varphi +i sin \varphi) $ i $ a = \mid b \mid(cos\psi +i sin \psi) $ Lako je provjeriti da je

$ \mid a \times b \mid =\mid a \mid \mid b \mid sin(\varphi -\psi)= \mid OA \mid \mid AB \mid sin\widehat{AOB}=2P_{AOB} $

Neka su $ a $, $ b $, $ c $ kompleksni brojevi. Tada kompleksan proizvod dva kompleksna broja ima sledeće osobine

$ \overline{a \times b}= -a \times b $
$ a \times b= 0 <=> a=0 \lor b=0 \lor a= \lambda b $ gdje je $ \lambda \in \mathbb{R} \ \begin{Bmatrix} 0 \end{Bmatrix} $
$ a \times b =-b \times a $
$ \alpha (a \times b)=(\alpha a)\times b = a \times (\alpha b) $ ( $ \forall \alpha \in\mathbb{R} $ )

Ako su $ A(a) $ i $ B(b) $ dvije različite tačke različite od $ O(0) $, tada je $ a \times b = 0 $ onda i samo onda ako su $ O $, $ A $,$ B $ kolinearne tačke.

Neka su $ A(a $) i $ B(b $) dvije različite tačke u kompleksnoj ravni različite od koordinantnog početka. Kompleksan proizvod brojeva $ a $ i $ b $ ima sljedeći geometrijski smisao

$ a \times b = \begin{cases} 2iP_{AOB} \ za \ trougao \ AOB \ pozitivno \ orijentisan \\ -2iP_{AOB} \ za \ trougao \ AOB \ negativno \ orijentisan \end{cases} $ Neka su $ A(a) $, $ B(b) $ i $ C(c) $ tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada je

$ P_{ABC}=\begin{cases} \frac{1}{2}( a \times b + b \times c + c \times a )\ ako \ je \ ABC \ pozitivno \ orjentisan \\ \frac{1}{2}( a \times b + b \times c + c \times a )\ ako \ je \ ABC \ negativno \ orjentisan \end{cases} $

Neka su $ A(a) $, $ B(b) $ i $ C(c) $ tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna

Tačke $ A $,$ B $,$ C $ su kolinearne
$ (b - a) \times (c - a) = 0 $
$ a \times b + b \times c + c \times a = 0 $

Neka su $ A(a) $, $ B(b) $, $ C(c) $ i $ D(d) $ četiri tačke od kojih nikoje tri nisu kolinearne. Tada je $ AB\parallel CD $ onda i samo onda ako je $ (b-a)\times(d-c) = 0 $

Dijeljenje kompleksnih brojevaEdit

$ \displaystyle \frac{z_1}{z_2} \displaystyle = \frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}\cdot \frac{x_2-iy_2}{x_2-iy_2} \displaystyle = \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} + i \frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}, \quad \textrm{za}\quad z_2\neq 0 $ U svakom skupu brojeva dijeljenjese definiše kao množenje inverznim elementom. Uvjerimo se da za $ \forall z \in \mathbb{C})(z \ne 0 )\exists z'\in \mathbb{C} $

Neka je $ z = x + yi \ne 0 $ bilo koji. Onda je $ x^2 + y^2 \ne 0 $ pa je dobro definisan broj

$ z'= \frac{x}{x^2+y^2}+\frac{-y}{x^2+y^2}i $

$ \frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z \bar{z}}=\frac{\bar{z}}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2} -\frac{y}{x^2+y^2}i. $

imamo

$ z'*z=z*z'=1 $

$ z'=z^{-1}=\frac{1}{z} $

Konjugovano kompleksni brojeviEdit

Kompleksan broj $ \overline{z} \ = x - yi=r^{-i\theta} $ nazivamo konjugiranim broju $ z = x + yi = r^{i\theta} $. Brojevi $ z $ i $ \overline{z} $ čine par kompleksno-konjugiranih brojeva. Njihovim sabiranjem i oduzimanjem dobijamo

$ Re z = \frac{1}{2}(z+\overline{z} $

$ Im z = \frac{1}{2i}(z-\overline{z} $

Lako se provjerava da vrijedi

$ \overline{z_1+z_2} =\overline{z_1} +\overline{z_2} $
$ \overline{z_1-z_2} =\overline{z_1} -\overline{z_2} $
$ \overline{z_1*z_2} =\overline{z_1} *\overline{z_2} $
$ \overline{(\frac{z_1}{z_2})} =\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_1}} $

Moavrova formulaEdit

Neka je $ z=r(cos \theta+ isin \theta)= r\ cis \theta $ trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

$ z^2=z*z $

$ z^2=r\ cis \theta * r\ cis \theta =r^2 \ cis (\theta + \theta)= r^2 \ cis 2\theta $

$ z^3=r^2\ cis 2\theta * r\ cis \theta =r^3 \ cis (2\theta + \theta)= r^3 \ cis 3\theta $

$ z^4=r^3\ cis 3\theta * r\ cis \theta =r^4 \ cis (3\theta + \theta)= r^4 \ cis 4\theta $

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

$ z^n= r^n \ cis n\theta $ ili

$ (cos \theta+ isin \theta)^n= cos n\theta + isin n\theta (n \in Z) $

Stepenovanje kompleksnog brojaEdit

$ z^n = r^n(cosn \theta + isin n \theta) = r^ne^{in\theta} $ za $ n \in N $.

$ z^mz^n=z^{m+n} $

$ (z_1z_2)^n=(z_1z_2)^n $

$ (z^m)^n=z^{mn} $

Korjenovanje kompleksnog brojaEdit

$ \sqrt[n]{z}=\begin{Bmatrix} u_0,u_1...u_n \end{Bmatrix} $ za $ n \in N $

gdje je

$ u_k=\sqrt[n]{r}(cos\frac{\sqrt[n]{r}}{n}+i sin \frac{\theta+2k\pi }{n}) $ za $ k=0,1,...(n-1) $

$ u_k= \sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi )/2} $ za $ k=0,1,...(n-1) $

Kvadratni korjen imaginarnog brojaEdit

$ \sqrt{i} = \frac{1}{2}\sqrt{2} + i\frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i). $

Ovaj rezultat možemo dobiti na sljedeći način

$ i = (a+bi)^2\! $

$ i = a^2 + 2abi - b^2.\! $

Dobijamo dvije jednačine

$ \begin{cases} 2ab = 1\! \\ a^2 - b^2 = 0\! \end{cases} $

čija su rješenja

$ a = b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}. $

Izbor glavnog korjena daje

$ a = b = \frac{1}{\sqrt{2}}. $

Rezultat možemo dobiti pomoću Moavrova formule

$ i = \cos\left (\frac{\pi}{2}\right ) + i\sin\left (\frac{\pi}{2}\right ) $

$ \begin{align} \sqrt{i} & = \left ( \cos\left ( \frac{\pi}{2} \right ) + i\sin \left (\frac{\pi}{2} \right ) \right )^{\frac{1}{2}} \\ & = \cos\left (\frac{\pi}{4} \right ) + i\sin\left ( \frac{\pi}{4} \right ) \\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} + i\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right ) = \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i) . \\ \end{align} $

Apsolutna vrijednost argumentaEdit

Apsolutna vrijednost (ili modul ili veličine) kompleksnog broja $ z = x + yi $ je

$ \textstyle r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}.\, $

Kvadrat apsolutne vrijednosti je

$ \textstyle |z|^2=z\bar{z}=x^2+y^2.\, $

$ \varphi = \arg(z) = \begin{cases} \arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0 \\ \arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\ \frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\ -\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\ \mbox{indeterminate } & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0. \end{cases} $

Množenje i dijeljenje u polarnom oblikuEdit

Iz trigonometrijskih identiteta

$ \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) = \cos(a + b) $

$ \cos(a)\sin(b) + \sin(a)\cos(b) = \sin(a + b) $