Kompleksni brojevi

U skupu realnih brojeva $\mathbb {R}$ jednačina $x^{2}-1=0$ ima dva rješenja

$x^{2}-1=0=>x=\pm 1$

Slična jednačina $x^{2}+1=0$ u skupu $\mathbb {R}$ nema ni jedno rješenje. Zato se uvodi imaginarna jedinica $i$ definisana na sljedeći način $i^{2}=-1$ tj

$x^{2}+1=0=>x=\pm 1$ . Iz ove definicije slijedi

$\displaystyle i^{2}=-1,\quad i^{3}=-i,\quad i^{4}=-i\cdot i=-(-1)=1,\quad i^{5}=i,\quad i^{6}=-1,\ldots$ .

Na ovaj način dobili smo skup kompleksnih brojeva. Kompleksan broj je broj oblika

$x+yi\,$

gdje su $x$ i $y$ realni brojevi, a $i$ se naziva imaginarna jedinica i ima osobinu $i^{2}=-1$ . Realni broj $x$ se naziva realni dio kompleksnog broja i označava se sa $Re(z)$ , a $y$ se naziva imaginarni dio i označava se sa $Im(z)$ .

Skup kompleksnih brojeva možemo smatrati proširenjem skupa realnih brojeva, odnosno svaki realni broj $x$ možemo posmatrati kao kompleksni, uzimajući u prethodnoj notaciji da je $y=0$ , tj. $x=x+0i$ .

Notacija

Povremeno se može naići na definiciju $i={\sqrt {-1}}$ . U praktičnom smislu (iako korektna) tu definiciju treba koristiti vrlo uvjetno, jer ukoliko uradimo slijedeću operacije dobijamo pogrešan rezultat. ${\sqrt {-1}}*{\sqrt {-1}}={\sqrt {1}}=1$ . U pravilu takva vrsta operacije se tretira u domeni kompleksnih brojeva a ne realnih, i prema definiciji kompleksnog broja $i={\sqrt {-1}}$ imamo: $i*i=-1$ što je i korektan rezultat. Kompleksni brojevi se mogu formalno definisati kao dvodimenzionalni vektori ili uređeni parovi $(x,y)$ realnih brojeva.

Definicija

Definiciju kompleksnih brojeva kao uređenih parova dao je William R. Hamilton , irski matematičar (1805– 1865.) Ta se definicija temelji samo na sosobini realnih brojeva, čime se izbjegava donekle nerazjašnjeni pojam broja ${\sqrt {1}}$ . S druge strane, zapis oblika $z=x+yi$ pogodniji je za računanje. Oba oblika kompleksnog broja; $z=x+yi$ i $z=(x,y)$ potpuno su ekvivalentna.

Skup kompleksnih brojeva $\mathbb {C}$ je skup svih brojeva oblika $z=x+iy$ , gdje su $x,y\in \mathbb {R}$ .

Posebno je $0=0+i0$ .

$x=\mathrm {Re} (z)$ je realni dio kompleksnog broja $z$ ,

$y=\mathrm {Im} z$ je imaginarni dio kompleksnog broja $z$ .

Algebarski oblik kompleksnog broja je

$z=x+iy$ za $x,y\in \mathbb {R}$

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je

$z=r(cos\theta +isin\theta ),r\geq 0,\theta \in \mathbb {R}$

pri čemu je

$r=\mid z\mid$ modul

$\theta =arg\ z$ argument

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je

$z=r^{i\theta }$ za $r\geq 0,\theta \in \mathbb {R}$

pri čemu je

$r=\mid z\mid$ modul

$\theta =argz$ argument

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi.

$z_{1}=z_{2}\,\,\leftrightarrow \,\,(\operatorname {Re} (z_{1})=\operatorname {Re} (z_{2})\,\land \,\operatorname {Im} (z_{1})=\operatorname {Im} (z_{2})).$

Konjugirano kompleksni broj broja $z=x+iy$ je broj ${\bar {z}}=x-iy$ .

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja $z$ je nenegativni realni broj $r=\vert z\vert ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ .

Sabiranje i oduzimanje kompleksnih brojeva

U skupu kompleksnih brojeva definisano je sabiranje.

Neka su $z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ i $z_{2}=x_{2}+iy_{2}$ dva kompleksna broja.

$\displaystyle z_{1}+z_{2}\displaystyle =x_{1}+x_{2}+i(y_{1}+y_{2})$

i oduzimanje

$\displaystyle z_{1}-z_{2}\displaystyle =x_{1}-x_{2}+i(y_{1}-y_{2})$

Osobine sabiranja kompleksnih brojeva

$(z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}$ za $\forall z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ komutativnost sabiranja

$z_{1}+(z_{2}+z_{3})=(z_{1}+z_{2})+z_{3},$ za $\forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C}$ asocijativnost sabiranja

$\exists 0\in \mathbb {C} z+0=z$ za $\forall z\in \mathbb {C}$ neutralnost nule za sabiranje

Kompleksni broj $0=(0,0)=0+0i$

$(\forall z\in \mathbb {C} )(\exists (-z)\in \mathbb {C} z+(-z)=0$ postojanje inverznog elemanta.

Kompleksni broj $-z=(-x,-y)=-x-yi$

Množenje kompleksnih brojeva

Neka su $z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ i $z_{2}=x_{2}+iy_{2}$ dva kompleksna broja.

U skupu kompleksnih brojeva definisano je množenje $\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}\displaystyle =(x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})=x_{1}x_{2}+iy_{1}x_{2}+ix_{1}y_{2}+i^{2}y_{1}y_{2}\displaystyle =x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})$

Osobine množenja kompleksnih brojeva

$(z_{1}*z_{2}=z_{2}*z_{1}$ za $\forall z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ komutativnost množenja

$z_{1}*(z_{2}+z_{3})=(z_{1}+z_{2})+z_{3}$ za $\forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C}$ asocijativnost množenja

$\exists 1\in \mathbb {C} z*1=z$ za $\forall z\in \mathbb {C}$ neutralnost $1$ za množenje

$\forall z\in \mathbb {C} )(z\neq 0)(\exists z'\in \mathbb {C} z*(-z)=1$ postojanje reciproćnog elemanta

$z_{1}*(z_{2}+z_{3})=z_{1}*z_{2}+z_{1}*z_{3}$ za $\forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C}$ distributivnost množenja u odnosu na sabiranje

Realan proizvod dva kompleksna broja

U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe. Definicija

Realan proizvod kompleksnih brojeva $a$ i $b$ , u oznaci $a\circ b$ ,je realan broj određen kao

$a\circ b={\frac {1}{2}}({\overline {a}}b+a{\overline {b}})$

Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima $a=\mid a\mid (cos\varphi +isin\varphi )$ i $b=\mid b\mid (cos\psi +isin\psi )$ Lako je proveriti da je

$a\circ b=\mid a\mid \mid b\mid (cos\varphi +isin\psi )=\mid OA\mid \mid AB\mid cos{\widehat {AOB}}$

Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja

$a\circ a=\mid a\mid ^{2}$
$a\circ b=b\circ a$
${\overline {a\circ b}}=a\circ b$
$(\alpha a)\circ b=\alpha (a\circ b)=a\circ (\alpha b)$
$(az))bz)=\mid z\mid ^{2}(a\circ b)$
$a\circ b=0<=>OA\perp OB$ (za tačke A i B kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima $a$ i $b$ )

Realan proizvod kompleksnih brojeva $a$ i $b$ jednak je potenciji koordinantnog početka $O$ kompleksne ravni u odnosu na krug čiji je prečnik $AB$ , gdje su $A$ i $B$ tačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima $a$ i $b$ .

Tačka $M$ je sredina duži AB određena kompleksnim brojem ${\frac {a+b}{2}}$ , potencija tačke $O$ u odnosu na krug sa središtem u tački $M$ i poluprečnikom

$r={\frac {a-b}{2}}={\frac {\mid a-b\mid }{2}}$ jednaka je

$OM^{2}-r^{2}=\mid {\frac {a+b}{2}}\mid -\mid {\frac {a-b}{2}}\mid ={\frac {(a+b)({\overline {a}}+{\overline {b}}}{4}}-{\frac {(a-b)({\overline {a}}-{\overline {b}})}{4}}=a\circ b$

Neka su tačke $A$ , $B$ , $C$ , $D$ taačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima $a$ , $b$ , $c$ , $d$ . Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

$AB\perp CD$
$(a+b)\circ (c+d)=0$
${\frac {b-a}{d-c}}\in i\mathbb {R} \ {\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}$
$Re({\frac {b-a}{d-c}})=0$

Središte kružnice opisane oko trougla $ABC$ nalazi se u koordinantnom početku kompleksne ravni. Ako su tjemena $A$ , $B$ , $C$ trougla $ABC$ određena kompleksnim brojevima $a$ , $b$ , $c$ respektivno, tada je ortocentar $H$ tog trougla određen kompleksnim brojem $h=a+b+c$ .

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja

Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.

Definicija

Kompleksan broj

$a\times b={\frac {{\overline {a}}b-a{\overline {b}}}{2}}$ nazivamo kompleksnim proizvodom kompleksnih brojeva $a$ i $b$ .

Neka su $A$ i $B$ tačke određene kompleksnim brojevima $a=\mid a\mid (cos\varphi +isin\varphi )$ i $a=\mid b\mid (cos\psi +isin\psi )$ Lako je provjeriti da je

$\mid a\times b\mid =\mid a\mid \mid b\mid sin(\varphi -\psi )=\mid OA\mid \mid AB\mid sin{\widehat {AOB}}=2P_{AOB}$

Neka su $a$ , $b$ , $c$ kompleksni brojevi. Tada kompleksan proizvod dva kompleksna broja ima sledeće osobine

${\overline {a\times b}}=-a\times b$
$a\times b=0<=>a=0\lor b=0\lor a=\lambda b$ gdje je $\lambda \in \mathbb {R} \ {\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}$
$a\times b=-b\times a$
$\alpha (a\times b)=(\alpha a)\times b=a\times (\alpha b)$ ( $\forall \alpha \in \mathbb {R}$ )

Ako su $A(a)$ i $B(b)$ dvije različite tačke različite od $O(0)$ , tada je $a\times b=0$ onda i samo onda ako su $O$ , $A$ , $B$ kolinearne tačke.

Neka su $A(a$ ) i $B(b$ ) dvije različite tačke u kompleksnoj ravni različite od koordinantnog početka. Kompleksan proizvod brojeva $a$ i $b$ ima sljedeći geometrijski smisao

$a\times b={\begin{cases}2iP_{AOB}\ za\ trougao\ AOB\ pozitivno\ orijentisan\\-2iP_{AOB}\ za\ trougao\ AOB\ negativno\ orijentisan\end{cases}}$ Neka su $A(a)$ , $B(b)$ i $C(c)$ tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada je

$P_{ABC}={\begin{cases}{\frac {1}{2}}(a\times b+b\times c+c\times a)\ ako\ je\ ABC\ pozitivno\ orjentisan\\{\frac {1}{2}}(a\times b+b\times c+c\times a)\ ako\ je\ ABC\ negativno\ orjentisan\end{cases}}$

Neka su $A(a)$ , $B(b)$ i $C(c)$ tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna

Tačke $A$ , $B$ , $C$ su kolinearne
$(b-a)\times (c-a)=0$
$a\times b+b\times c+c\times a=0$

Neka su $A(a)$ , $B(b)$ , $C(c)$ i $D(d)$ četiri tačke od kojih nikoje tri nisu kolinearne. Tada je $AB\parallel CD$ onda i samo onda ako je $(b-a)\times (d-c)=0$

Dijeljenje kompleksnih brojeva

$\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}\displaystyle ={\frac {x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}}\cdot {\frac {x_{2}-iy_{2}}{x_{2}-iy_{2}}}\displaystyle ={\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}+i{\frac {y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}},\quad {\textrm {za}}\quad z_{2}\neq 0$ U svakom skupu brojeva dijeljenjese definiše kao množenje inverznim elementom. Uvjerimo se da za $\forall z\in \mathbb {C} )(z\neq 0)\exists z'\in \mathbb {C}$

Neka je $z=x+yi\neq 0$ bilo koji. Onda je $x^{2}+y^{2}\neq 0$ pa je dobro definisan broj

$z'={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}i$

${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.$

imamo

$z'*z=z*z'=1$

$z'=z^{-1}={\frac {1}{z}}$

Konjugovano kompleksni brojevi

Kompleksan broj ${\overline {z}}\ =x-yi=r^{-i\theta }$ nazivamo konjugiranim broju $z=x+yi=r^{i\theta }$ . Brojevi $z$ i ${\overline {z}}$ čine par kompleksno-konjugiranih brojeva. Njihovim sabiranjem i oduzimanjem dobijamo

$Rez={\frac {1}{2}}(z+{\overline {z}}$

$Imz={\frac {1}{2i}}(z-{\overline {z}}$

Lako se provjerava da vrijedi

${\overline {z_{1}+z_{2}}}={\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}$
${\overline {z_{1}-z_{2}}}={\overline {z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}$
${\overline {z_{1}*z_{2}}}={\overline {z_{1}}}*{\overline {z_{2}}}$
${\overline {({\frac {z_{1}}{z_{2}}})}}={\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{1}}}}$

Moavrova formula

Neka je $z=r(cos\theta +isin\theta )=r\ cis\theta$ trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

$z^{2}=z*z$

$z^{2}=r\ cis\theta *r\ cis\theta =r^{2}\ cis(\theta +\theta )=r^{2}\ cis2\theta$

$z^{3}=r^{2}\ cis2\theta *r\ cis\theta =r^{3}\ cis(2\theta +\theta )=r^{3}\ cis3\theta$

$z^{4}=r^{3}\ cis3\theta *r\ cis\theta =r^{4}\ cis(3\theta +\theta )=r^{4}\ cis4\theta$

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

$z^{n}=r^{n}\ cisn\theta$ ili

$(cos\theta +isin\theta )^{n}=cosn\theta +isinn\theta (n\in Z)$

Stepenovanje kompleksnog broja

$z^{n}=r^{n}(cosn\theta +isinn\theta )=r^{n}e^{in\theta }$ za $n\in N$ .

$z^{m}z^{n}=z^{m+n}$

$(z_{1}z_{2})^{n}=(z_{1}z_{2})^{n}$

$(z^{m})^{n}=z^{mn}$

Korjenovanje kompleksnog broja

${\sqrt[{n}]{z}}={\begin{Bmatrix}u_{0},u_{1}...u_{n}\end{Bmatrix}}$ za $n\in N$

gdje je

$u_{k}={\sqrt[{n}]{r}}(cos{\frac {\sqrt[{n}]{r}}{n}}+isin{\frac {\theta +2k\pi }{n}})$ za $k=0,1,...(n-1)$

$u_{k}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i(\theta +2k\pi )/2}$ za $k=0,1,...(n-1)$

Kvadratni korjen imaginarnog broja

${\sqrt {i}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}+i{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).$

Ovaj rezultat možemo dobiti na sljedeći način

$i=(a+bi)^{2}\!$

$i=a^{2}+2abi-b^{2}.\!$

Dobijamo dvije jednačine

${\begin{cases}2ab=1\!\\a^{2}-b^{2}=0\!\end{cases}}$

čija su rješenja

$a=b=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}.$

Izbor glavnog korjena daje

$a=b={\frac {1}{\sqrt {2}}}.$

Rezultat možemo dobiti pomoću Moavrova formule

$i=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)$

${\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\left(\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right)^{\frac {1}{2}}\\&=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}+i\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).\\\end{aligned}}$