U skupu realnih brojeva jednačina ima dva rješenja
Slična jednačina
u skupu nema ni jedno rješenje. Zato se uvodi imaginarna jedinica definisana na sljedeći način tj. Iz ove definicije slijedi
.
Na ovaj način dobili smo skup kompleksnih brojeva. Kompleksan broj je broj oblika
gdje su realni brojevi, a se naziva imaginarna jedinica i ima osobinu . Realni broj se naziva realni dio kompleksnog broja i označava se sa , a se naziva imaginarni dio i označava se sa .
iSkup kompleksnih brojeva možemo smatrati proširenjem skupa realnih brojeva, odnosno svaki realni broj
možemo posmatrati kao kompleksni, uzimajući u prethodnoj notaciji da je , tj. .Contents
- 1 Notacija
- 2 Definicija
- 3 Sabiranje i oduzimanje kompleksnih brojeva
- 4 Množenje kompleksnih brojeva
- 5 Dijeljenje kompleksnih brojeva
- 6 Konjugovano kompleksni brojevi
- 7 Moavrova formula
- 8 Stepenovanje kompleksnog broja
- 9 Korjenovanje kompleksnog broja
- 10 Kvadratni korjen imaginarnog broja
- 11 Apsolutna vrijednost argumenta
- 12 Množenje i dijeljenje u polarnom obliku
- 13 Izvori
Notacija[edit | edit source]
Povremeno se može naići na definiciju vektori ili uređeni parovi realnih brojeva.
. U praktičnom smislu (iako korektna) tu definiciju treba koristiti vrlo uvjetno, jer ukoliko uradimo slijedeću operacije dobijamo pogrešan rezultat. . U pravilu takva vrsta operacije se tretira u domeni kompleksnih brojeva a ne realnih, i prema definiciji kompleksnog broja imamo: što je i korektan rezultat. Kompleksni brojevi se mogu formalno definisati kao dvodimenzionalniDefinicija[edit | edit source]
Definiciju kompleksnih brojeva kao uređenih parova dao je William R. Hamilton , irski matematičar (1805– 1865.) Ta se definicija temelji samo na sosobini realnih brojeva, čime se izbjegava donekle nerazjašnjeni pojam broja . S druge strane, zapis oblika pogodniji je za računanje. Oba oblika kompleksnog broja; i potpuno su ekvivalentna.
Skup kompleksnih brojeva
je skup svih brojeva oblika , gdje su .Posebno je
.je realni dio kompleksnog broja ,
je imaginarni dio kompleksnog broja .
Algebarski oblik kompleksnog broja je
za
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je
pri čemu je
modul
argument
Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je
za
pri čemu je
modul
argument
Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi.
Konjugirano kompleksni broj broja
je broj .Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja je nenegativni realni broj .
Sabiranje i oduzimanje kompleksnih brojeva[edit | edit source]
U skupu kompleksnih brojeva definisano je sabiranje.
Neka su
i dva kompleksna broja.
Osobine sabiranja kompleksnih brojeva[edit | edit source]
komutativnost sabiranja
zaasocijativnost sabiranja
zaza neutralnost nule za sabiranje
Kompleksni broj
postojanje inverznog elemanta.
Kompleksni broj
Množenje kompleksnih brojeva[edit | edit source]
Neka su
i dva kompleksna broja.U skupu kompleksnih brojeva definisano je množenje
Osobine množenja kompleksnih brojeva[edit | edit source]
za komutativnost množenja
za asocijativnost množenja
za neutralnost za množenje
postojanje reciproćnog elemanta
za distributivnost množenja u odnosu na sabiranje
Realan proizvod dva kompleksna broja[edit | edit source]
U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe. Definicija
Realan proizvod kompleksnih brojeva
i , u oznaci ,je realan broj određen kao
Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima
i Lako je proveriti da je
Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja
- (za tačke A i B kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima i )
Realan proizvod kompleksnih brojeva
i jednak je potenciji koordinantnog početka kompleksne ravni u odnosu na krug čiji je prečnik , gdje su i tačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima i .Tačka
je sredina duži AB određena kompleksnim brojem , potencija tačke u odnosu na krug sa središtem u tački i poluprečnikomjednaka je
Neka su tačke
, , , taačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima , , , . Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:Središte kružnice opisane oko trougla
nalazi se u koordinantnom početku kompleksne ravni. Ako su tjemena , , trougla određena kompleksnim brojevima , , respektivno, tada je ortocentar tog trougla određen kompleksnim brojem .Kompleksan proizvod dva kompleksna broja[edit | edit source]
Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.
- Definicija
Kompleksan broj
nazivamo kompleksnim proizvodom kompleksnih brojeva i .
Neka su
i tačke određene kompleksnim brojevima i Lako je provjeriti da je
Neka su
, , kompleksni brojevi. Tada kompleksan proizvod dva kompleksna broja ima sledeće osobine- gdje je
- ( )
Ako su
i dvije različite tačke različite od , tada je onda i samo onda ako su , , kolinearne tačke.Neka su
) i ) dvije različite tačke u kompleksnoj ravni različite od koordinantnog početka. Kompleksan proizvod brojeva i ima sljedeći geometrijski smisaoNeka su , i tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada je
Neka su
, i tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna- Tačke , , su kolinearne
Neka su
, , i četiri tačke od kojih nikoje tri nisu kolinearne. Tada je onda i samo onda ako jeDijeljenje kompleksnih brojeva[edit | edit source]
U svakom skupu brojeva dijeljenjese definiše kao množenje inverznim elementom. Uvjerimo se da za
Neka je
bilo koji. Onda je pa je dobro definisan broj
imamo
Konjugovano kompleksni brojevi[edit | edit source]
Kompleksan broj
nazivamo konjugiranim broju . Brojevi i čine par kompleksno-konjugiranih brojeva. Njihovim sabiranjem i oduzimanjem dobijamo
Lako se provjerava da vrijedi
Moavrova formula[edit | edit source]
Neka je
trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je
Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici
ili
Stepenovanje kompleksnog broja[edit | edit source]
za .
Korjenovanje kompleksnog broja[edit | edit source]
za
gdje je
za
za
Kvadratni korjen imaginarnog broja[edit | edit source]
Ovaj rezultat možemo dobiti na sljedeći način
Dobijamo dvije jednačine
čija su rješenja
Izbor glavnog korjena daje
Rezultat možemo dobiti pomoću Moavrova formule
Apsolutna vrijednost argumenta[edit | edit source]
Apsolutna vrijednost (ili modul ili veličine) kompleksnog broja
jeKvadrat apsolutne vrijednosti je
Množenje i dijeljenje u polarnom obliku[edit | edit source]
Iz trigonometrijskih identiteta
imamo
- Primjer
Dijeljenje
Izvori[edit | edit source]
- http://lav.fesb.hr/mat1/predavanja/node19.html
- http://www.elfak.ni.ac.rs/downloads/informacije/studenti/praktikumi/kompleksni-brojevi.pdf
- http://www.mim-sraga.com/formule/kompleksni-brojevi.htm
- https://element.hr/artikli/file/1333
- http://www.dms.rs/DMS/data/nis/pripreme_2012/Primene%20kompleksnih%20brojeva%20u%20geometriji_Radoslav%20Dimitrijevic.pdf
- https://profesorka.wordpress.com/2014/02/21/moavrova-formula-i-n-ti-koren-kompleksnog-broja/