Matematika Wiki
Advertisement

Jednakostranični trougao.png

Jednakostraničan trougao je trougao u kojem su sve tri stranice jednake tj.

i sva tri ugla jednaka

.

Presjek težišnih duži (), presjek visina (), simetrala stranica (centar opisane kružnice ), simetrala uglova (centar upisane kružnice ) sijeku se u jednoj tački tj. sve znacajne tacke ovog trougla se poklapaju.

Težišne duži su međusobno jednake.

Visine su međusobno jednake.

Težišne duži su podudarne visinama. Također, težišne duži su podudarne simetralama uglova i stranica.

Formule

, , .

  1. površina
  2. obim
  3. poluprečnik opisane kružnice
  4. poluprečnik upisane kružnice ili
  5. visina .

Ove veličine možemo izraziti i preko visine

Visina

Visinu je moguće izračunati pomoću jedne od dvije formule:

,

kada se racionališe i skrati dobija se

.

Glavne osobine

Neka je dat trougao čije su stranice ,, poluobim , poluprečnik opisane kružnice i

poluprečnik upisane kružnice

Trougao je jednakostraničan ako i samo ako je bilo koja od sljedečih izjava tačna.

Stranice

Poluobim

Uglovi

  • .

Površina

Poluprečnik opisane i upisane kružnice

Jednake dužine Jednake dužine imaju težišnice, visine bisektrise.

Značajne tačke trougla Težište, ortocentar, centar opisanog i upisanog trougla se poklapaju.

Ovo su osobine koje su jedinstvene za jednakostraničan trougao.

Ostale osobine

Odnos površine kružnice upisane u jednakostranični trougao površine trougla je

Odnos površine trougla i kvadrata njegovog obima

Ako su vrhovi trougla određeni su kompleksnim brojevima , , respektivno, tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna:

  1. je jednakostraničan trougao
  2. za
  3. za


Ako su ), i vrhovi pozitivno orijentisanog trougla , onda su sledeće tvrdnje ekvivalentne:

  1. je jednakostraničan trougao;
  2. , gde je
  3. , gde je

Za bilo koju tačku P u ravni trougla čije su udaljenosti , i od vrhova , , i , važi

Za bilo koju tačku upisane kružnice jednakostraničnog trougla, sa udaljenostima , i od vrhova važi

Konstrukcija

400px-Equilateral triangle construction.svg.png

Povučemo pravu

Na njoj konstruišemo kružnicu čiji je prečnik jednak 2a.

Presječna tačka kružnice i prave je centar druge kružnice prečnika 2a.

Dobijene tačke kao presjek te dvije tačke i njiov presjek sa pravom su vrhovi trougla

II način

Povučemo pravu i konstruišemo kružnicu prečnika 2a čiji je centar na pravoj. presjek kružnice i prave je tačka koju uzmemo za centar kružnice istog prečnika.

Presjek te dvije kružnice su tačke čija udaljenost iznosi a. Sada lako dobijamo i treću tačku.

Izvođenje formule za površinu

Formula za površinu

lako možemo izvesti pomoću Pitagorine teoreme itrigonometrije.

Pomoću Pitagorine teoreme

Pomoću trigonometrije

U kulturi i društvu

  • Arheološko nalazište Lepenski Vir u Srbiji, iz doba neolita, sadrži ostatke staništa koja u svojoj osnovi imaju jednakostranični trougao.
  • Davidova zvijezda, simbol jevrejskog naroda, sastoji se od dva obrnuta jednakostranična trougla. Uz ove trouglove se povezuju i izvjesna religiozna značenja.
  • Mistični simbol Pitagorejaca, tetraktis, bio je oblika jednakostraničnog trougla.
  • Na zastavi Filipina
  • Oblik saobračajnog znaka.

Izvor

http://mathworld.wolfram.com/EquilateralTriangle.html

http://rms.unibuc.ro/gazeta/gmb/2010/3/articol.pdf

http://forumgeom.fau.edu/FG2001volume1/FG200102.pdf

http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201509.pdf

http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217.pdf

http://www.emis.de/journals/JIPAM/images/220_08_JIPAM/220_08_www.pdf

http://www.dms.rs/DMS/data/nis/pripreme_2012/Primene%20kompleksnih%20brojeva%20u%20geometriji_Radoslav%20Dimitrijevic.pdf

Advertisement