Jedinični krug

Jedinični krug je krug čiji je poluprečnik 1 i čiji se centar  u koordinatnom početku (0,0). thumb

Jedinični krug siječe x-osu u tačkama $(-1,0)$ i $(1,0)$ i y-osu u tačkama $(0, 1)$ i $(0,-1)$.

Ortogonalna projekcija tačke $A(x,y)$ na x osu je $A_{1}(x,0)$, a na y- osu $A_{2}(0,y)$. Duži $OA_1$ i $OA_{2}$ su katete pravouglog trougla $OA_{1}A_{2}$ čije su dužine x i y.

$cos\theta$ je horizontalna a $sin\theta$ vertikalna dužina. Ugao $\theta$ je u standardnom položaju. Na osnovu definicije funkicje sinus i kosinus dobijamo sljedeće jednakosti:

$sin\theta =y/1=y$

$cos\theta =x/1=x$

$tg\theta =y/x$

Ako su (x, y) tačke na kružnici jediničnog kruga u prvom kvadrantu, onda su x i y katete pravouglog trougla (isječci na x i y osi, respektivno) čija je hipotenuza (poluprečnik) 1. Prema Pitagorinoj teoremi x i y zadovoljavaju jednačinu

$x^2 + y^2 = 1$

Pošto je $x^2 = (-x)^2$ prethodna jednačina važi za sve tačke (x, y) na jediničnom krugu, ne samo za prvi kvadrant.

Trigonometrijske funkcije na jediničnom krugu

Trigonometrijske funkcije sinus i kosinus  mogu biti definisane na jediničnom krugu na sljedeći način. Ako je (x, y) tačka na jediničnom krugu i ako duž iz koordinatnog početka do tačke (x, y) čini ugao t sa pozitivnim dijelom x-ose (u smjeru suprotnim od smjera kazaljke na satu), tada važi:

$cos\theta =x$

$sin\theta =y$

Jednačina $x^2 + y^2 = 1$ daje poznatu relaciju

$cos^{2}\theta +sin^{2}\theta =1$

	α	sin α	cos α	tg α	cotg α
1. kvadrant	0–90°	+	+	+	+
2. kvadrant	90–180°	+	−	−	−
3. kvadrant	180–270°	−	−	+	+
4. kvadrant	270–360°	−	+	−	−

Jedinični krug takođe daje uvid da su sinus i kosinus periodične funkcije jednakostima:

$\cos t=\cos(2k\pi +\theta )\,\!$

$\sin t=\sin(2k\pi +\theta )\,\!$

za svaki cijeli broj k.

Ove jednakosti polaze od činjenice da x i y koordinate tačke na krugu ostaju iste ako ugao t napravi bilo koji broj obrtaja (1 obrtaj = $2\pi$ radijana).

Kada se radi sa pravouglim trouglovima, sinus i kosinus, kao i ostale trigonometrijske funkcije imaju smisla samo ako je ugao veći od 0 i manji od $\pi/2$. Koristeći jedinični krug, ove funkcije dobijaju smisao za bilo koju realnu vrijednost ugla. Ako je tačka A tačka jediničnog kruga onda su njene koordinate

$A(0)=A(2\pi )=(1,0)$

$A(\pi /2)=(0,1)$

$A(\pi )=(-1,0)$

thumb Druge tačke su određene koordinatama $\left({\tfrac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\tfrac {2t}{1+t^{2}}}\right)$

Zamjenom $t=p/q$ dobijamo pitagorine trojke $(q^{2}-p^{2},2pq,q^{2}+p^{2})$.

Kompleksna ravan

U kompleksnoj ravni jedinični krug predstavljen je skupom $G\subset\mathbb C$

$G=\{z:\mathrm {Re} \{z\}^{2}+\mathrm {Im} \{z\}^{2}=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leq \phi <2\pi \}$

Kategorija:Trigonometrija