Hiperboloid je ploha II reda u zadata jednacinama

  • (jednokrilni)
  • (dvokrilni)

Kada je , naziva se elipticki hiperboloid. Kada je , hiperboloid je rotaciona ploha.

Moze nastati na nekoliko nacina.

  • Rotacijom hiperbole oko njene imaginarne os.

Hiperboloid.gif





  • Rotacijom prave oko njemu mimoilazne ose.

Hiperboloid1.gif





  • Bilo koje tri mimoilazne prave koje nisu paralelne s istom ravni ravnalice su jednokrilnog hiperboloida. Njihove transverzale cine izvodnice jednog sistema.

Jednokrilni hiperboloid ima dva sistema izvodnica tj. svakom njegovom tackom prolaze dvije izvodnice, svaka iz jednog sistema. Sve izvodnice istog sistema medjusobno su mimoilazne, a svaka od njih sijece sve izvodnice drugog sistema. Bilo koje tri izvodnice jednog sistema mozemo odabrati za ravnalice jednokrilnog hiperboloida.

Hiperboloid2.gif







Dvokrilni rotacioni hiperboloid nastaje rotacijom hiperbole oko prave koja prolaze kroz zize.

Jednokrilni hiperboloidi[uredi | uredi izvor]

Jednokrilni elipticki hiperboloid[uredi | uredi izvor]

Linijska ploha s dva sistema izvodnica, tj. svakom tackom te plohe prolaze dvije prave koje leze na toj plohi.

Hipeboloid4.png









Realni presjeci ove plohe su: elipse, kruznice, parabole, hiperbole i konike koje se raspadaju na par realnih pravih (presjeci plohe s njenim tangencijalnim ravninama).

Jednokrilni rotacioni hiperboloid[uredi | uredi izvor]

To je poseban slucaj gornje plohe (za ). Nastaje rotacijom hiperbole oko njene imaginarne ose ili rotacijom prave oko ose s kojom je taj pravac mimoilazan. Ta prava je izvodnica koja pripada bilo kojem od dva sistema izvodnica ove plohe.

Parametarske jednacine[uredi | uredi izvor]

Jednokrolni hiperboloid[uredi | uredi izvor]

Ako se kao parametri uzmu i onda se jednokrilni elipticki hiperboloid moze parametrizovati na vise nacina: ,

,

ili

ili

.

U slucaju kad je drugi navedeni nacin parametrizacije realizuje jednokrilni hiperboloid rotacijom hiperbole, a treci prave oko ose.

Dvokrilni hiperboloid[uredi | uredi izvor]

Parametarska jednačina dvokrilnog eliptickog hiperboloida je:

, gdje i .

Poopstenje kanonske jednacine[uredi | uredi izvor]

Hiperboloid sa centrom u tacki , proizvoljne orjentacije, definise se jednacinom

gdje su и vektori dimenzije 3x1, a matrica, јje dimenzija 3x3 i mora biti regularna i simetricna .

Presjeci[uredi | uredi izvor]

U svakoj tacki jednokrilnog hiperboloida dirna ravan odredjena dvjema izvodnicama koje se u njoj sijeku.

Presjek1.gif







Osim dviju izvodnica presjek jednokrilnog hiperboloida moze biti:


Presjek2.gif







hiperbola (ako je presjecna ravan paralelna s dvije njegove ukrstene izvodnice)

Presjek3.gif







parabola (ako je presjecna ravan paralelna s dvije njegove paralelne izvodnice)

Presjek4.gif








elipsa (ako presjecna ravan nije paralelna niti s jednom njegovom izvodnicom).

U prostorima dimenzije vece od tri[uredi | uredi izvor]

U matematici visih dimenzija cesto se spominju imaginarni hiperboloidi. Ako se posmatra pseudo-Euklidski prostor i polinom

, за

dio prostira , gdje je c konstanta, naziva se hiperboloid. Ovakvi hiperboloidi nazivaju i kvazi-sfere zbog slicnosti izmedju sfere i hiperboloida.

Reference[uredi | uredi izvor]

http://www.grad.hr/geomteh3d/Plohe/hiperboloidi.html

http://www.grad.hr/geomteh3d/Plohe/rotacijski_hip.html

http://www.grad.hr/itproject_math/Links/sonja/pravcaste/2.red/jednokrilni/jednokrilni.html

http://lavica.fesb.hr/mat2/predavanja/node57.html

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.