Za trojku prirodnih brojeva kazemo da je Heronov akotrougao cije stranice imaju duzine a, b i c ima cjelobrojnu povrsinu. Smatracemo podudarnim Heronove trojke koje se dobijaju jedna iz druge permutacijom
Heronova trojka koja je ujedno i rastuci aritmetićki niz.
Tada je ¡ , , pa je prema Heronovom obrascu
Smjenom i skracivanjem sa dobijamo
Kako je parno za dobijamo
Da bi rjesenja bila iz skupa prirodnih brojeva mora biti
Za
pa je
, i . Dobili smo trojku ( koja je osnovna Pitagorina trojka.
Za dobijamo trojku ( ujedno i Pitagorina
Za dobijamo trojku ( i
Za dobijamo trojku (, i
Prave Heronove trojke
Ako su brojevi u Heronovoj trojci uzajamno prosti i ako ne cine Pitagorinu trojku, kazemo j da je Heronova trojka prava. Odredimo uslove pri kojima se iz rjesenja jednacine
za dobijaju prave Heronove trojke.
U slucaju da je vrijednost izraza neparno
U slucaju da je vrijednost izraza parno
Neka je
Ako je parno onda je za i
za i
Brojevi , , , nisu uzajamno prosti
Heronove trojke sa uzastopnim clanovima
Poseban slucaj jednacine
za se dobija za . On se odnosi na Heronove trojke koje cine aritmeticki niz sa razlikom 1, tj. niz tri uzastopna prirodna broja. U tom slucaju se dobija se
Osnovno rjesenje je , jer je
za
Kako je imamo
sto je uslov i daje niz Heronovih trojki (a_n, b_n, c_n) ciji su clanovi tri uzastopna prirodna broja.
U sljedecoj tabeli dato je prvih pet Heronovih trojki definisanih na ovaj nacin
n
1
3
4
5
6
2
13
14
15
84
3
51
52
53
1170
4
193
194
195
16296
5
723
724
725
226974
Rekurentna formula za niz povrsina Heronovih trouglova
Posmatrajuci poslednju kolonu prethodne tablice, empirijskom indukcijom moze se zakljuciti da vazi formula
Neka je i srednja po velicini stranica n-tog Heronovog trougla kome su duzine stranica tri uzastopna prirodna broja. Primjenom Heronove formule moze se izraziti niz povrsina tih trouglova u funkciji od .